Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его катета, равного 12, если гипотенуза равна 15.

"египетский" треугольник, подобный (3,4,5). стороны 9,12,15. расстояние от основания медианы к гипотенузе (то есть от середины гипотенузы) до катета 12 равно 9/2. а точка пересечения медиан на треть медианы ближе к вершине перяого угла, то есть расстояние от неё до катета 12 составит (2/3)*(9/2) = 3.

 

а можно и так. медиана к гипотенузе равна 15/2, а точка пересечения медиан лежит на расстоянии (2/3)*(15/2)   = 5 от прямого угла. при этом, если опустить перпендикуляр из этой точки на катет (да любой : )) в данном случае - на катет 12), то поучится опять "египетский" треугольник, причем самый настоящий - (3,4,5). доказательство этого совершенно очевидного факта такое - медиана образует с катетами углы, равные углам треугольника, поскольку разбивает треугольник на два равнобедренных. отсюда следует подобие построенного треугольника исходному.

ну, вот так само собой и получилось, что расстояние от точки пересечения медиан до катетов 3 и 4. нужное по расстояние 3.

 

1.  смотри на куб. ad и вd₁   не пересекаются. их нужно сместить в одну точку! передвинем ad в точку в получится прямая вс. теперь они пересекаются и образуют угол  d₁bc.. соединяем d₁ и с. вс  ⊥ d₁c. tg (d₁bc) = d₁c / bc = a√2 / a =  √2 угол равен   arctg(√2). а - это ребро куба, а диагональ квадрата нашел по теореме пифагора.   2.  а вторую пока нет  времени решить. но там тоже перемещаем ad в точку в. рассматриваем треугольник fbc.