Найти высоту конуса наименьшего объема,описанного около полушара радиуса r (цент основания конуса лежит в центре основания шара)

дан полушар   с радиусом   r = oc     и   описанный около   него конус   с радиусом   основания   r = oa   и высотой   h = om.

построим сечение конуса по диаметру основания :   δamb

om - высота конуса   ⇒   δamo -  прямоугольный. пусть ∠omk=α

ok⊥am   -   как радиус шара в точку касания с конусом   ⇒   δokm - прямоугольный.   по отношению сторон прямоугольного треугольника :

по отношению сторон прямоугольного треугольника δamo:

тогда объём конуса по формуле

объём конуса, выраженный дробью, будет наименьшим, когда знаменатель будет наибольшим.

наибольшее значение функции в знаменателе можно найти через производную.

f (α) = sin α - sin³ α    

f'(α) = (sin α - sin³ α)' = 0

cos α - 3 sin² α cos α = 0

cos α (1 - 3 sin²α) = 0

1) cos α = 0     ⇒     α = 90°   -   не подходит по условию   (угол при вершине сечения не может быть равен   180°).

1 - 3 sin²α = 0     ⇒         ⇒

  - только положительное значение корня, так как отрицательным угол при вершине конуса быть не может.

высота конуса  

ответ:  

=======================================

наименьший объём описанного конуса с высотой   h=√3 r