Докожите что медиана прямоугольного треугольника проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы

2 способа, зависит от того, прошли ли вы уже вписанную/описанную окружность. если нет - то пиши второй способ. 

1 способ: надо доказать, что bo = ao = oc

рассмотрим прямоугольный треугольник abc (угол b - прямой, bo - медиана). угол b опирается на дугу ab, а так как угол b - вписанный, то дуга ab равна 2*уголb = 180. следовательно ac - диаметр, а центр ac - центр окружности. но окружность так же проходит по точке b. а значит ao = oc = ob = r - радиус описанной окружности. 

доказано. 

2 способ: надо доказать, что bo = ao = oc

рассмотрим прямоугольный треугольник abc (угол b - прямой, bo - медиана). продолжим bo, на линии отложим отрезок равный bo: om (рисунок прилагается). соединим точку m с точками a и c. получится четырехугольник abcm. рассмотрим треугольники aom и cob:  

< aom =  < boc (вертикальные углы)

ao = oc (о - середина ac)

bo = om (по построению)

по 1 признаку равенства треугольников,  δmoa =  δboc, следовательно все элементы в этих треугольниках равны:

ам = bc;   < mac = < acb - накрест лежащие углы. так как накрест лежащие углы равны, то am параллельно bc. по признаку параллелограмма (две противолежащие стороны равны и параллельны) четырехугольник abcm является параллелограммом. но угол b - прямой, а значит параллелограмм является прямоугольником, а в прямоугольнике диагонали равны. 

ac = bm - значит и их половины равны:

bo = ao = oc = om

что и требовалось доказать