Высота сд прямоугольного треугольника авс, опущенная на гипотенузу ав, равна 4 8/13 дм, проекция катетов на неё равна 11 1/13 дм. найти все стороны этого треугольника

высота сд прямоугольного треугольника авс, опущенная на гипотенузу ав, равна 4 8/13 дм, проекция катетов на неё равна 11 1/13 дм. найти все стороны этого треугольника

cd=h =4 8/13 дм = 60 /13

ab=c  -гипотенуза

ac (а),  bc(b) – катеты

c1 и с2 - длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу

с1=11 1/13 дм     = 144/13

 

способ 1

h^2=c1*c2   - свойство прямоугольного треугольника

с2= h^2 /c1 = (60 /13)^2 / (144/13) = 25/13

гипотенуза c= с1+с2=144/13+25/13= 13 дм

дальше по теореме пифагора

первый катет   a^2=h^2 + c1^2 ; a=√( h^2 + c1^2)= √(60 /13)^2+(144/13)^2=12 дм

 

второй катет b^2=h^2 + c2^2 ; b=√( h^2 + c2^2)= √(60 /13)^2+(25/13)^2=5 дм

 

способ 2

по теореме пифагора

первый катет   a^2=h^2 + c1^2 ; a=√( h^2 + c1^2)= √(60 /13)^2+(144/13)^2=12 дм

высота, на гипотенузу, связана с катетами соотношением

1/a^2 +1/b^2=1/h^2 - свойство прямоугольного треугольника  

второй катет 1/b^2=1/h^2 - 1/a^2 ; b^2 = (ah)^2 /(a^2-h^2)=(12*60/13)^2 /(12^2-(60/13)^2)=25 ; b= 5 дм

по теореме пифагора

гипотенуза  с^2 = a^2 + b^2 ;   c= √ (a^2 + b^2) =√ (12^2 + 5^2)= √169 =  13 дм

 

 

способ 3

ответ  стороны треугольника    5, 12, 13

Если  угол со стороной ad составляет 45^, то и угол со стороной cd тоже будет составлять 45^ так как угол d равен 90^ в сумме углы треугольника acd составляют 180 таким образом треугольник acd - равнобедренный с основанием ас, прямым углом d и катетами, равными между собой cd и ad - то есть все стороны прямоугольника равны между собой и составляют квадрат со равными сторонами ab, bc, cd, da. пусть длина стороны данного квадрата равна а, соответственно площадь квадрата равна произведению а и а, то есть а^2. по теореме пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть а^2 + а^2 = 8^2. или 2а^2=64. таким образом а^2=32. а выражение а^2 и есть искомая площадь. ответ: 32 см^2