Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке -1; 3 y=одна третия x в 3 степени минус 2 икс во 2 степени плюс 1

точки экстремума x = 0, x = 4

 

проверяем значения функции на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащим отрезку

у(-1) = -1/3 - 2 + 1 = -4/3

у(0) = 1

у(3) = 9 - 18 + 1 = -8

 

отсюда min = -8, при x=3

max y = 1 при x = 0

Пусть в прямоугольный треугольник abc вписан квадрат cdef (см. рисунок). здесь ac=a, bc=b. заметим, что диагональ ce квадрата является также биссектрисой исходного треугольника. пусть ce=d, тогда cd=d√2/2 - сторона квадрата меньше диагонали в  √2 раз. периметр квадрата равен (d√2/2)*4=2√2d, а площадь равна (d√2/2)²=d²/2. таким образом, чтобы найти периметр и площадь квадрата, достаточно выразить биссектрису прямого угла d через a и b. площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, в нашем случае s=ab/2. теперь воспользуемся другой формулой площади - s=1/2*a*b*sin(c), где a,b - соседние стороны треугольника, а sin(c) - угол между ними. тогда s(ace)=1/2*ac*ce*sin(45), s(bce)=1/2*ce*bc*sin(45) (углы ace и bce равны 45 градусам). так как s(ace)+s(bce)=s(abc), мы можем записать уравнение с одним неизвестным ce: 1/2*ac*ce*sin(45)+1/2*ce*bc*sin(45)=ab/2 ac*ce*sin(45)+ce*bc*sin(45)=ab ce(ac+bc)=ab/sin(45) ce=ab/(a+b)sin(45) таким образом, d=ab/(a+b)sin(45). получаем, что периметр квадрата равен  2√2d=2√2ab/(a+b)sin(45)=4ab/(a+b), а площадь равна  d²/2=(ab/(a+b)sin(45))²*1/2=a²b²/(a+b)².