Из концов диаметра ab окружности опущены перпендикуляры аа1 и вв1 на касательную. доказать, что точка касания с является серединой отрезка а1в1

из центра о окружноси проведем радиус ок в точку касания к. по т. "радиус проведенный в точку касания - перпендикулярен касотельной", следовательно имеем 3 перпендикуляра к одной прямой, а по теореме они параллельны между собой. cледовательно аа1в1в - трапеция, а так как о-середина ав, то ок- средняя линия этой трапеции и значит точка к - серединаа1в1

чертеж я бы сделал, но сканера у меня в данный момент нет. а рашение простое. а1вс1 - это равносторонний треугольник, а сечение куба плоскостью аdb1 - это прямоугольник adb1c1. если обозначить м точку пересечения диагоналей ав1 и а1в грани авв1а1, то эти плоскости пересекаются по прямой с1м. 

всё это кажется запутаным, но легко увидеть, что принадлежащая плоскости а1вс1 прямая а1в перпендикулярна сечению  авв1а1 (в этом сечении есть по крайней мере две прямых, заведомо препендикулярных а1в - это ав1 и ad, - ad вообще перпендикулярно всех грани  авв1а1, а не только одной прямой а1в, принадлежащей этой грани). а если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.