Вправильной шестиугольной пирамиде sabcdef, стороны основания которой равны 4, а боковые рёбра равны три корня из шести, найдите угол между прямыми bg и ad, где g - точка на ребре sc, причём sg : gc = 1 : 2.

ad ii bc, поэтому нам нужен угол между bg и bc. свелась к плоской. все дальнейшее происходит в плоскости sbc. (я не буду пояснять, что высота треугольника sbc sk - это апофема пирамиды, и так далее. просто всё дальше  происходит в плоскости sbc, про остальную пирамиду забыли навеки.)

есть треугольник sbc, вс = 4, sb = sc = 3*корень(6); высота sk равна 

sk = корень(54 - 4) = 5*корень(2); (ясно, что bk = kc = 2);

точка g расположена на sc на расстоянии sc/3 от s. поэтому перпендикуляр из g на вс равен (2/3)*sk. пусть его основание m, gm = 10*корень(2)/3,  а

вм = вк + км = 2 + 2/3 = 8/3; (поясню - km = kc/3 = 2/3)

как мне кажется, достаточно для решения

tg(угол gbc) = gm/bm = 5*корень(2)/4;

напомню, что  угол gbc и есть угол между bg и ad, поскольку ad ii вс.

проверьте арифметику, надеюсь, я не ошибся нигде.

пусть  о - точка пересечения диагоналей параллелограмма авсд.

рассмотри четырёхугольник аксм.

его диагональ ас является диагональю параллелограмма авсд, которая точкой о делится пополам. следовательно, одна диагональ четырёхугольника аксм делится точкой о пополам.

поскольку ок = ов - вк, а ом = од - мд, вк = мд и ов = од, то ок = ом.

то есть диагональ км четырёхугольника аксм состоит из двух равных частей ок и ом.

получилось, что и 2-я диагональ четырёхугольника аксм делится точкой о пополам.

мы знаем, что если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

что и требовалось доказать