Постройте прямоугольный треугольник по катету и проекции другого катета на гипотенузу

пусть нам заданы катет а и проекция q катета b на гипотенузу с.

если угол между b и с обозначить ф, то

b = q/cos(ф); c = b/cos(ф) = q/(cos(ф))^2 = q/(1 - (sin(ф))^2) = q/(1 - (a/c)^2);

c - a^2/c = q; это легко приводится к виду

с*(с - q) = a^2;

вот именно это и было нужно : теперь совершенно очевидно, как построить с, если заданы отрезки q и а.

на отрезке q, как на диаметре, строится окружность (центр - в середине q, радиус q/2), и в одном из концов q проводится препендикуляр к q (касательная к окружности), на котором от точки касания откладывается отрезок а. через полученную точку (ну, назовем её как-то, пусть м) и середину q (центр окружности), проводится секущая, отрезок от м до дальней точки пересечения с окружностью и есть -   с, гипотенуза треугольника.

теперь по заданным с и а построить треугольник не сложно - строим прямой угол, на одном луче откладываем а и из полученной точки проводим окружность радиуса с до пересечения со вторым лучом.

можно и так - построить на с как на диаметре окружность, и в одном из концов поместить центр окружности радиуса а, полученную точку пересечения окружностей соединить с концами это уже детали :  

Пусть в δавс ∠с = 90°, ав = 73 см, s = 1320 см2. допустим, ас = х см, а вс = y см, тогда по теореме пифагора имеем: х2 + у2 = 732 , а по формуле площади xy/2 = 1320. так что: сложим и вычтем (2) из (1), получим 0ткуда x = 55, тогда y = x - 7 = 48. то есть ас = 55 см, вс = 48 см. 0твет: 55 см, 48 см