Вравнобедренном треугольнике авс (ав=вс) длина средней линии mn равна 6 (м принадлежит ав, n принадлежит вс), а синус угла вас равен 4/5. найдите радиус окружности, вписанной в треугольник mbn.

в равнобедренном треугольнике авс (ав=вс) длина средней линии mn равна 6 (м принадлежит ав, n принадлежит вс), а синус угла вас равен 4/5. найдите радиус окружности, вписанной в ∆ mbn.

средняя линия треугольника  соединяет середины двух его сторон  и параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

следовательно, ∆ mbn подобен ∆ авс, т.к. их углы равны, и 

sin∠вмn =sin∠bac=4/5. 

опустим из в высоту вн на mn. высота равнобедренного треугольника - его медиана и биссектриса. мн=3

вм=мн: cos∠bmh

cos²∠bmh=1-sin²∠bmh=1-16/25

cos  ∠bmh=√16/25=3/5=0,6

ав=3: 0,6=5,  ⇒  bn=5 

формула радиуса вписанной окружности 

r=s/p, где s- площадь треугольника, р- его полупериметр. 

s=ab*мн•sin  ∠bmh=5•6•0,8: 2=12 

p=(6+2•5)/2=8

r=12: 8=1,5 (ед.длины)

как вариант решения можно по т.пифагора вычислить 

длину вн=4, площадь   ∆ bmn по формуле s=ah. 

радиус r - по формуле радиуса окружности,   вписанной в равнобедренный треугольник ( она дана в приложенном рисунке)