Биссектрисы углов а и в при боковой стороне ав трапеции авсd пересекаются в точке f, биссектрисы углов с и д при боковой стороне сд персекаются в точке g. найдите fg, если средняя линия трапеции равна 21, боковые
стороны- 13 и 15

я тут уже решал подобную столько раз, что не помню, когда был первый.

точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. поэтому отрезок, соединяющий эти центры - часть средней линии : далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна полусумме боковых сторон, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "описана вокруг окружности", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). поэтому ответ 21-14=7. :

(именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :  

еще вариант решения, по сути - такой же

  обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. и есть 3 соотношения.

z+x+y = b;

z+(13-x)+(15-y) = a;

(a + b)/2 = 21

складываем и делим на 2.

z = 7

еще вариант решения - проводим спецальную касательную к левой окружности (то есть - с центром в точке f), параллельную сd. легко видеть, что окружность с центром в f вписана в трапецию с основаниями (13 - z) и (15 - z), где z - искомое расстояние между центрами. далее - см. начало :  

рисунок сделай сама.

если назовешь точки касания в и с, то 

ао-биссектриса < a, значит делит его пополам. < bao=< cao=30

сторона, лежащая против угла в 30, равна половине гипотенузы. < abo=90, т.к. опирается на   касательную. значит, во=r=ao/2=8/2=4.

ответ: 4