Втрапеции авсд меньшая диагональ вд перпендикулярна основаниям ад и вс. сумма острых углов а и с равна 90 градусов. найти длину большей диагонали трапеции, если основание ад равно 2, а дс равно 5.

угол сад = 180 -(90+60) = 30 градусов  тр-к авс - равнобедренный и ав =вс  угол вас = углу дас = углу асв = 30 градусов  угол а = углу д =60 градусов,  тогда трапеция авсд - равнобедренная и ав =вс = сд =х  ад = 2сд = 2х ( так как катет сд лежит против угла в 30 градусов)  р = ав+вс+сд+ад = х+х+х+2х = 5х = 35  ав =х = 35/5 =7см  ответ ав =7см

1) плоскость α проведена через сторону cd прямоугольника авсd перпендикулярно к его плоскости. 

из точки а к плоскостиα проведена наклонная ак =15 см. 

найти расстояние между прямыми вс и ак, если ав = 8 см, ad = 9 см, кс = 12 см.

сделаем рисунок.                              

плоскость α перпендикулярна плоскости прямоугольника. ⇒ 

kd⊥ad и ⊥dc. ∆ аdc - прямоугольный. по т.пифагора 

dk=√(ak*-ad²)=√(225-81)=12

  ∆ckd равнобедренный.       

вс и ак лежат в разных плоскостях, не параллельны и не пересекаются. они скрещивающиеся.

расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. 

вс║ad, ad лежит в плоскости adk⇒  вс║плоскости adc. 

расстояние от любой точки прямой  вс до плоскости  adc одинаково. 

расстоянием от т.с до плоскости является длина перпендикуляра сн, проведенного к прямой dk ( т.к. они лежат в одной плоскости), т.е. высота равнобедренного ∆ скd. 

площадь ∆ скd равна половине произведения его высоты км на сторону сd.  

км из прямоугольного ∆ кмс по т.пифагора равна √128=8√2

s ∆ ckd=8√2•8: 2=16√2

ch=2s∆ckd: kd=(8√2)/3 см –это ответ. 

–––––––––––––––––––––––––––––––

2) обозначим данные плоскости α и  β

  пусть в плоскости α лежит прямая а, параллельная m -линии пересечения плоскостей, а в плоскости β– прямая b. 

угол между двумя плоскостями - двугранный. его величина равна линейному углу,  образованному двумя лучами, проведенными  в плоскостях из одной точки их общей границы перпендикулярно к ней. 

проведем из точки в  на m перпендикулярно к ней  в плоскостях α и β лучи, пересекающие прямые а и b в точках а и с соответственно. т.к.  прямые a и b параллельны m, то ba и вс пересекают их под прямым углом. ав - расстояние от прямой а до m, св - расстояние от b до m. 

искомое расстояние - отрезок ас, проведенный между а и b перпендикулярно к ним. 

проведем в ∆ авс высоту сн. 

сн=св•sin30°=√3

вн=вс•cos30°=3

в прямоугольном ∆ асн катет ан=ав-вн=5.

по т.пифагора 

ас=√(ah²+ch²)=√(3+25)=2√7 см