Решите уравнение (x-5)^2 +(x-4)^3+(x-3)^4=2

(x-5)^2 +(x-4)^3+(x-3)^4=2

используем формулы сокращенного умножения 

(x-5)^2 -> x^2-10x+25

(x-4)^3 -> x^3-12x^2+48x-64

(x-3)^4 -> x^4-12x^3+54x^2-108x+81

x^4-11x^3+43x^2-70x+42=2

  x^4-11x^3+43x^2-70x+40=0  

для решения этого уравнения разложим левую часть на множители воспользуеся методом неопределенных коэффициентов. имеем :   x^4 − 11x^3 + 43x^2 − 70x + 40 = ( x^2 + px + q ) ( x^2 + bx + c ) =    = x^4 + bx^3 + cx^2 + px^3 + bpx^2 + cpx + qx^2 + bqx + cq =    = x^4 + ( b + p ) x^3 + ( c + q + bp ) x^2 + ( cp + bq ) x + cq ,  приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений : { b + p = − 11 { c + q + bp = + 43

{ cp + bq = − 70 { cq = + 40

из последнего уравнения системы следует, чтодля c ( как и для q) возможны следующие целыезначения : ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40, 1)пусть c = 1, тогда q = 40 в этом случае второе и третье уравнения систему : { 1 + 40 + bp = + 43 { 1·p + b·40 = − 70

bp = 2 , p = 2 /b  это значение p подставим во второе уравнение   и получим следующее квадратное уравнение : 40b^2 + 70b + 2 = 0  найдем его дискриминант : d = 4580 а затем корень из d = 67.675697262755 так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят 2)пусть c = 2, тогда q = 20 в этом случае второе и третье уравнения систему : { 2 + 20 + bp = + 43{ 2·p + b·20 = − 70

bp = 21 , p = 21/b  это значение p подставим во второе уравнение   и получим следующее квадратное уравнение : 20b^2 + 70b + 42 = 0  найдем его дискриминант : d = 1540 а затем корень из d = 39.242833740697 так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят 3)пусть c = 4, тогда q = 10 в этом случае второе и третье уравнения систему : { 4 + 10 + bp = + 43 { 4·p + b·10 = − 70

bp = 29 , p = 29/b  это значение p подставим во второе уравнение   и получим следующее квадратное уравнение : 10b^2 + 70b + 116 = 0  найдем его дискриминант : d = 260 а затем корень из d = 16.124515496597 так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят 4)пусть c = 5, тогда q = 8 в этом случае второе и третье уравнения систему : { 5 + 8 + bp = + 43 { 5·p + b·8 = − 70

bp = 30 , p = 30/b  это значение p подставим во второе уравнение   и получим следующее квадратное уравнение : 8b^2 + 70b + 150 = 0  найдем его дискриминант : d = 100 а затем корень из d = 10 b1 = -3.75 b2 = -5 p1 = -8   p2 = -6  и так имеем : c = 5 , q = 8 , b = -5 , p = -6   x^4 − 11x^3 + 43x^2 − 70x + 40 = ( x^2 − 6x + 8) ( x^2 − 5x + 5) = 0  следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квадратных уравнений : ( x^2 − 6x + 8) = 0 и ( x^2 − 5x + 5) = 0 решив которые можно найти корни исходного уравнения 

x1=2                       < - ответ

x2=4                         < - ответ 

x3= (5+\sqrt{5})/2   < - ответ

x4= (5-\sqrt{5})/2   < - ответ

-11×-5×=190+18

-16×=208

×=-208/16

×=-13