Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм зі сторонами 3м і 4м. одна з діагоналей паралелепіпеда =5м, а інша - 7м. знайти об'єм паралелепіпеда

обозначим a - меньший угол параллелограмма, лежащнго в основании, д1 - длину  большой диагонали паралелограмма, лежащего в основании , д2 - длину малой диагонали паралелограмма, лежащего в основании , д1 = 7 - большую диагональ параллелепипеда, д2 = 5 меньшую диагональ параллелепипеда, н - высоту параллелепипеда, sqrt - корень квадратный.

по теореме пифагора:

h^2 + д1^2 = д1^2  (1)

и

h^2 + д2^2 = д2^2    (2)

по теореме косинусов:

д1^2 = 3^2 + 4^2 -2*3*4*cos a  (3)

д2^2 = 3^2 + 4^2  + 2*3*4*cos a    (4)

подставим (3) и (4) в (1) и (2)

h^2 +  3^2 + 4^2 -2*3*4*cos a = 25 (5)

h^2 + 3^2 + 4^2  + 2*3*4*cos a = 49  (6)

сложим (5) и (6)

2(h^2 +3^2 + 4^2) = 74

h^2 +9 + 16 = 37

h^2 = 12

н = 2sqrt (3)

вычтем  (5) из (6)

2 * 2*3*4*cos a = 24

2 *24*cos a = 24

cos a =0,5

а = 60гр.

sin 60р = 0,5sqrt(3)

площадь основания s = 3 *4 * sin 60 = 12 *0.5 sqrt(3) = 6sqrt(3)

объём параллелепипеда v = s *h = 6sqrt(3) * 2sqrt (3) = 12 * 3 = 36

ВК-биссектриса угла АВС, она делит угол пополам, поэтому ∠АВК=∠КВС=60°/2=30°.

∠ВКС -внешний угол при  вершине К, равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов.

∠ВКС=∠АВК+∠ВАК=30°+40°=70°

ответ 70°