Впараллелограмме abcd биссектрисы углов b и c пересекаются в точке m, лежащей на стороне ad. найдите площадь параллелограмма abcd, если bm=9, bc=15

в параллелограмме abcd биссектрисы углов b и c пересекаются в точке m, лежащей на стороне ad. 

найдите площадь параллелограмма abcd, если bm=9, bc=15

сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180º ( углы при параллельных прямых и секущей). 

cумма половин этих углов в ∆ смв равна  180º: 2=90º,  ⇒

∠смв=180º-90º=  90º. 

в  ⊿  смв отношение катета вм и гипотенузы св равно 3: 5, из чего  следует, что  ⊿  смв–египетский, и см=12 ( можно проверить по  т.пифагора). 

s  ⊿  смв=см•bm: 2=12•9: 2=54

биссектриса см отсекает от авсd   равнобедренный треугольник cdm ( накрестлежащие углы равны половине угла всd)⇒ сd=мd

на том же основании   ∆ мав равнобедренный и ам=ав

но сd=ав  ⇒ dm=am,   и стороны св и ad равны по  2 ав. 

проведем мк || сd|| ав.   мк - медиана  ⊿    смв и делит его на равные по площади треугольники. 

в четырехугольниках скмd и мква   стороны равны и параллельны,⇒ они -  ромбы.

площадь каждого ромба равна площади  ⊿  смв ( состоит из 2-х равных по площади  половин  ⊿  смв). 

s abcd=2s смв=2•54=108 (ед. площади).