Около окружности описана трапеция abcd, боковая сторона ab перпендикулярна основаниям, m- точка пересечения диагоналей трапеции. площадь треугольника cmd равна s.найдите радиус окружности.

решение на рисунке. хорошая . побольше бы таких, а то тут все больше - "найти синус по катету и гипотенузе : ", я такие и не читаю.

 

ответ получается простой, и довольно странный - я пытаюсь представить себе, что будет, если точка d находится далеко от а (при фиксированном ав, конечно). и не могу :

суть решения такова. 

для начала считаем основания a и b заданными.

1. находится связь между прощадью трапеции sabcd  и прощадью треугольника cmd, равной s. тут можно сделать глупую ошибку. точка м не лежит на диаметре окружности, перпендикулярном основаниям. поэтому всё, что у нас есть - подобие треугольников мвс и маd. ясно, что их стороны пропорциональны основаниям.

площадь трапеции равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними. проще всего это увидеть, если построить треугольник bde, как показано на чертеже. de ii ac. площадь bde равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковые средние линии), а стороны у него - диагонали трапеции. пользуясь этим, получаем

s = sabcd *a*b/(a + b)^2;

2. выражаем площадь трапеции через периметр и радиус вписанной окружности. при этом помним, что суммы противоположных сторон трапеции равны. получаем

sabcd = (a + b)*r;

3. последнее необходимое соотношение получаем из треугольника авк, где вк ii cd; при этом вк = a + b - 2*r; ав = 2*r; ak = a - b;  

из теоремы пифагора для этого треугольника получаем

r = a*b/(a + b);

собирая всё это, получаем 

s = r^2;

 

я пытался найти чисто обоснование этому ответу, но не нашел.

Дан треугольник авс, ас-основание, мк параллельна ас. площадь треугольника мвк=1, площадь четырехугольника амкс=8, вс+вк=5 найти кс.  площадь ∆ авс равна сумме площадей   ∆  вмс и   трапеции  амкс  ѕ ∆ авс=1+8=9  так как мк ||ас, ∠вмк=∠вас,     ∠вкм=∠вса как соответственные при пересечении параллельных прямых секущей,   и  треугольники авс и вмк подобны по равенству   углов  ѕ ∆ вмк: ѕ ∆ авс=1: 9  отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия  k=√1/9=1/3  ⇒    вк : вс=1/3  пусть вк=х, тогда вс=3х  вс+вк=4х  4х=5  х=5/4=1,25  кс=3х-х=2х  кс=1,25*2=2,5