Точка к лежит внутри острого двугранного угла и удалена на 7 см от его граней и на 14 см от ребра двугранного угла. найдите величину двугранного угла.

Точка к лежит в биссекторной плоскости двугранного угла. из точки к опускаем перпендикуляры ка и кв  к граням двугранного угла и ко  к его ребру (линии пересечения плоскостей. ясно, что ка=кв=7 см. получаем два прямоугольных треугольника као и кво с общей гипотенузой ко. синус острого угла аок (вок), против которого лежит катет 7 см  равен 7/14=0,5. значит острый угол равен 30 градусам. величина двугранного угла аов равна 30+30=60 градусов.

дана трапеция abcd

em - средняя линия

пересекает диагонали в точках к и n

ac и bd - диагонали

 

из свойств средней линии трапеции: em||bc||ad

cm=md и em||bc, тогда по теореме фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) em проходит через точку n.

ae=em и em||bc, тогда по теореме фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) em проходит через точку k.

следовательно: ak=ck и dn=bn

 

можно также доказать через треугольники abc и dcb - средняя линия трапеции будет средней линией этих треугольников. средняя линия треугольника делит стороны пополам, значит диагонали пересекаются пополам.