Втреугольнике abc bm-биссектриса. площади треугольников abm и cbm относятся как 1: 3, ab=4см. найдите стороны треугольника.

если площади тр-ков авм и свм относятся как 1: 3, то и основания этих тр-ков ам и см относятся как 1: 3, потому что высоты у этих тр-ков одинаковы, а площадь тр-ка рана половине произведения основания на высоту. обозначим х = ам, тогда см = 3х.

обозначим углы: уг.авм = уг.свм = алфа, уг. амв = бета, уг.смв = 180 - бета.

рассмотрим тр-к авм: по теореме синусов sin алфа / х = sin бета / 4, откуда

sin алфа / sin бета = х/4        (1)

рассмотрим тр-к свм: по теореме синусов sin алфа /3х = sin (180-бета) / вс. поскольку sin (180-бета) = sin бета , то sin алфа / sin бета = 3х/вс       (2)

приравняем правые части равенств (1) и (2)

х/4 = 3х/вс, откуда вс = 12

используем неравенство треугольника для тр-ка авс: сумма двех сторон всегда больше третьей стороны:

ав + вс > ас или 4+12 > 4х, получаем х < 4  (3)

ав + ас > bc или 4 + 4х > 12 , получаем х > 2 (4)

итак,  2< x< 4. принимаем х = 3, тогда 3х = 9 и ас = 4х =12

ответ: вс= ас = 12

Объяснение:

Трикутник ВDC по прямокутний, кут BDC= 30, то за теоремою про катет, що лежить проти кута в 30 градусів BD=1/2BC=9/2=4.5. Трикутник BDC прямокутний, то за Теоремою Піфагора AB=корінь з AD2+BD2=корінь з 29.25