Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам перпендикулярны. найдите косинус угла лежащего напротив основания. заранее !

x - кусок медианы к боковой стороне между точкой пересечения и стороной.  основание 2*x*√2; боковая сторона 2*x*√5; sin(a/2) = 1/√10; cos(a/2) = 3/√10; sin(a) = 3/5; cos(a) = 4/5

так телеграфно : основание выражено через х из треугольника, образованного кусками медиан от вершин до точки пересечения. половина боковой стороны является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике - там катеты х и 2*х;

дальше очевидно.

если нужно искать решение, а формула для синуса удвоенного угла   пока не проходилась (бывает такое), то надо найти высоту (через х, конечно), потом площадь, потом отсюда - высоту к боковой стороне (просто поделив площадь на боковую сторону), и синус уже перед нами : а если еще и теорему пифагора применить для вычисления отрезка боковой стороны от вершины до основания высоты к ней, то и косинус тут же найдется. тут что приятно - там египетский треугольник (3,4,5) получится (высота, боковая сторона и часть другой боковой стороны). 

Указание.  если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе. решение.  с центром в произвольной точке построим окружность, радиус которой равен данной медиане. проведём произвольный диаметр  ab‍  этой окружности. с центром в точке  a‍построим окружность, радиус которой равен данному катету. пусть  c  —‍  одна из точек пересечения построенных окружностей. тогда медиана  cm‍  (радиус первой окружности) треугольника  abc‍  равна половине стороны  ab‍  (диаметр первой окружности), следовательно,  abc  —‍  искомый прямоугольный треугольник.