Постоить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам

пусть даны два отрезка а и m и угол α. надо построить δавс такой, что вс = а, δbcd ав + ас = m.

решение возможно лишь при а < m т.к. сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

построим δbcd по двум сторонам (bd = m, вс = а) и углу между ними (∠в = α).

проведем серединный перпендикуляр от cd, он пересечет bd в точке а. ad = ас. получаем искомый δbcd, где вс = а, δbcd в = α, ав + ас = m, т.к. ас = ad.

если m = а, то в δbcd ∠с будет больше ∠d. серединный перпендикуляр d к стороне cd по теореме 1.1. должен пересекать либо сторону вс, либо сd.

докажем, что серединный перпендикуляр пересекает именно bd.

допустим, d пересекает сторону вс в точке м, а прямую bd в точке k. т.к. kd > bd, то ∠kcd < ∠bcd.

по свойству серединного перпендикуляра δdkc — равнобедренный, таким образом, ∠kcd = ∠d, но тогда ∠d > ∠bcd (т.к. m > a), то есть в δbcd ∠d < ∠с. противоречие, т.е. d пересекает именно вd.

таким образом, имеет единственное решение.