Основание пирамиды ромб со стороной 10 см и высотой 6 см. найти объем пирамиды , если все двугранные углы при ее основании равны 45 градусов

если через любую апофему (высоту любой грани) и высоту пирамиды провести плоскость, то эта плоскость очевидно будет перпендикулярна боковой стороне основания (обе прямые, через которые проходит плоскость, препендикулярны боковой стороне основания).

поэтому проекция апофемы тоже препендикулярна боковой стороне. 

теперь надо постороить все прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, апофемой и её проекцией на основание. угол между апофемой и её проецией - это и есть угол наклона грани, он одинаковый для всех граней.  поскольку это все прямоугольные треугольники с равным острым углом и общим катетом (высотой пирамиды) - они все равны между собой.

поэтому равны все апофемы, и (что гораздо важнее) - равны все проекции апофем на основание. это означает, что вершина пирамиды проектируется в точку, равноудаленную от сторон основания. то есть - в центр вписанной окружности.

  поскольку заданные двугранные уголы равены 45 градусов, то все эти треугольники равнобедренные, и высота просто равна радиусу вписанной в ромб окружности.

но радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты робма - имеется окружность, касающаяся 2 параллельных прямых. само собой, радиус равен половине расстояния между ними, то есть 3.

итак, высота пирамиды 3, площадь основания 10*6 = 60, значит объем пирамиды

v = (1/3)*3*60 = 60 куб.см