1.Определите вид призмы, сумма плоских углов которой равна 2160°.

(а)

показателем числа a по модулю m (где a и m взаимно простые) называется наименьшее натуральное число n такое, что aⁿ - 1 делится на m (точнее aⁿ ≡ 1 (mod

докажем, что у взаимно простых чисел a и m существует показатель. действительно, пусть его не существует. тогда есть такие различные числа p и q, что a^p ≡ t (mod m) и a^q ≡ t (mod m). пусть p < q, тогда a^q : a^p ≡ t : t ≡ 1 (mod m). деление возможно из-за взаимной простоты a и m. значит, a^(q-p) ≡ 1 (mod m) и показатель существует.

(б)

заметим, что 100 ≡ 3 (mod 97), из этого:

100² ≡ 3 * 100¹ ≡ 3 * 3¹ ≡ 3² (mod 97)

100ⁿ ≡ 3 * 100^(n-1) ≡ 3 * 3^(n-1) ≡ 3ⁿ (mod 97)

кроме того известно, что 3⁰ + 3¹ + + 3ⁿ = (3^(n+1) - 1)/2 (это доказывается при метода индукции, при желании могу приложить доказательство в комментариях).

наше число представимо в виде 100⁰ * 19 + 100¹ * 19 + + 100ⁿ * 19 ≡ 3⁰ * 19 + 3¹ * 19 + + 3ⁿ * 19 ≡ (3^(n+1) - 1)/2 * 19 (mod 97).

так как 19 и 2 взаимно просты с 97, можно их убрать. если число 3^(n+1)-1 не делилось на 97, то и при умножении на них делиться не будет.

а теперь заметим, что существует такое n, что 3^(n + 1) - 1 делится на 97 (по первой ).

ответ: существует.