Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пусть M, N, P и Q являются серединами ребер AB, BC, CD и DA соответственно. Пусть R - это точка пересечения отрезков MQ и NP. Ваша задача - доказать, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ.

Чтобы доказать, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма и треугольника.

Обратимся к треугольнику AMQ. Поскольку M и N являются серединами сторон AB и BC соответственно, то отрезок MN параллелен и равен половине отрезка AC. А по свойству параллелограмма, диагонали параллелограмма делятся пополам. Таким образом, точка R, являющаяся точкой пересечения отрезков MQ и NP, является серединой отрезка AC.

Аналогичные рассуждения можно провести для треугольников BNP, CPM и DQN, и прийти к выводу, что точка R является серединой отрезков BD, CD и AD соответственно.

Таким образом, линия AR проходит через середины всех ребер тетраэдра ABCD, а значит, она является медианой этого тетраэдра. Поскольку медиана пересекает плоскость MNPQ в ее центре (точке пересечения медиан), то линия AR будет перпендикулярна этой плоскости.

Таким образом, мы доказали, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ.

8 см,  20 см.

Объяснение:

Дано: КМРТ - трапеція, АВ - середня лінія, СЕ=6 см. МР:КТ=2:5. Знайти МР і КТ.

Нехай МР=2х см,  КТ=5х см.

Розглянемо ΔКМР та ΔМРТ. АС та ВЕ - середні лінії,  АС=ВЕ=1/2 МР=х см.

Тоді АВ=2х+6 см.

Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ, отже

2х+6=(2х+5х):2

2х+6=3,5х

1,5х=6;  х=4.

МР=2*4=8 см;  КТ=5*4=20 см