В в прямоугольным треугольнике АВС, МN перпендикулярно AB ,BC-MN=10cm ,AN: AC =1:3. Найдите ВС

Для розв'язання задачі використаємо теорему Піфагора та співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

Позначимо BC = a, AB = b, AC = c.

За теоремою Піфагора для трикутника ABC маємо:

c² = a² + b²

Розділимо обидві частини на c²:

1 + (b/a)² = (c/a)²

Оскільки AN:AC = 1:3, то AN = c/4, а NC = 3c/4.

Також маємо BM = b - MN та CM = a - MN.

За теоремою Піфагора для трикутників ABM та BCM маємо:

(b - MN)² + (c/4)² = b²

(a - MN)² + (3c/4)² = a²

Розв'язавши цю систему рівнянь, знаходимо:

a = 4MN + 10

b = 3MN

c = 5MN + 10

Підставляючи ці значення в рівняння для теореми Піфагора, маємо:

(5MN + 10)² = (4MN + 10)² + (3MN)²

Розв'язуючи це рівняння, отримуємо:

25MN² + 100MN + 100 = 16MN² + 80MN + 100 + 9MN²

Редагуючи, маємо:

0 = MN² - 20MN

MN(MN - 20) = 0

Отже, MN = 20 (інакше було б негативне значення, що не може бути довжиною сторони).

Підставляючи MN = 20 в формули для a, b, c, маємо:

a = 90

b = 60

c = 110

Отже, ВС = a = 90 см