Геометрия: Найти координаты вершин C и D квадрата ABCD , если A(2;1),B(4;0)

MrLinar

27.11.2022 03:40

Геометрия

Есть ответ 👍

Найти координаты вершин C и D квадрата ABCD , если A(2;1),B(4;0)

235

464

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

freeSkoM

Геометрия

4,8(68 оценок)

Задача имеет два решения:

1) С(5;2), Д(3;3)

2) С(3;-2), Д(1;-1)

Найти координаты вершин C и D квадрата ABCD , если A(2;1),B(4;0)

МасенькаЗайка

Геометрия

4,5(67 оценок)

$C(5; 2),\, D(3;3)$ или $C(3;-2),\, D(1;-1)$

Объяснение:

Расстояние между двумя точками $A({x_1};\,\,{y_1})$ и $B({x_2};\,\,{y_2})$ находится по формуле $d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} .$

Поэтому

$AB = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 .$

Уравнение прямой, проходящей через точки $A({x_1};\,\,{y_1})$ и $B({x_2};\,\,{y_2}),$ имеет вид

$\displaystyle\frac{{x - {x_1}}}{{y - {y_1}}} = \displaystyle\frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{y_2} - {y_1}}},$

поэтому уравнение прямой

$\displaystyle\frac{{x - 2}}{{y - 1}} = \displaystyle\frac{{4 - 2}}{{0 - 1}};$

$\displaystyle\frac{{x - 2}}{{y - 1}} = - 2;$

$y - 1 = - \displaystyle\frac{1}{2}x + 1;$

$y = - \displaystyle\frac{1}{2}x + 2.$

Угловой коэффициент найденной прямой $k = - \displaystyle\frac{1}{2}.$

Так как стороны квадрата перпендикулярны, уравнения прямых, которые их выражают, должны удовлетворять условию перпендикулярности с заданной прямой (для перпендикулярных прямых с угловыми коэффициентами ${k_1}$ и ${k_2}$ выполняется равенство ${k_1}{k_2} = - 1$ ).

Тогда угловой коэффициент прямых, проходящих перпендикулярно отрезку AB, равен $- 1:\left( { - \displaystyle\frac{1}{2}} \right) = 2.$

Значит все такие прямые имеют вид y = 2x + b.

Подставив координаты точки в полученное уравнение, найдем

$1 = 2 \cdot 2 + b,$

b = - 3,

Значит уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку y = 2x - 3.

Аналогично подставив координаты точки получим

$0 = 2 \cdot 4 + b,$

b = - 8.

Значит уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку y = 2x - 8.

Таким образом, точка лежит на прямой y = 2x - 8, т. е. ее координаты $({x_0};\,\,2{x_0} - 8).$ А длина стороны $BC = AB = \sqrt 5 .$

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками (см. выше), получаем:

$BC = \sqrt {{{({x_0} - 4)}^2} + {{(2{x_0} - 8 - 0)}^2}} = \sqrt 5 ,$

${({x_0} - 4)^2} + 4{({x_0} - 4)^2} = 5,$

$5{({x_0} - 4)^2} = 5,$

${({x_0} - 4)^2} = 1,$

$\left[ \begin{array}{l}{x_0} - 4 = 1,\\{x_0} - 4 = - 1,\end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 5,\\{x_0} = 3.\end{array} \right.$

Вычисляем соответствующие значения y для этих точек: для ${x_0} = 5$ ${y_0} = 2{x_0} - 8 = 2;$ для ${x_0} = 3$ ${y_0} = 2{x_0} - 8 = - 2.$

Выходит, два возможных положения точки C — (5; 2) или (3; -2).

Проделываем ту же последовательность действий для определения координат точки Так как она лежит на прямой y = 2x - 3, то $D({x_0};\,\,2{x_0} - 3).$

$AD = \sqrt {{{({x_0} - 2)}^2} + {{(2{x_0} - 3 - 1)}^2}} = \sqrt 5 ,$

${({x_0} - 2)^2} + 4{({x_0} - 2)^2} = 5,$

${({x_0} - 2)^2} = 1,$

$\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3,\\{x_0} = 1,\end{array} \right.$

тогда для ${x_0} = 3$ ${y_0} = 2{x_0} - 3 = 3,$ а для ${x_0} = 1$ ${y_0} = 2{x_0} - 3 = - 1.$ Значит возможные положения точки — (3; 3) или (1; -1).

ггггггггггггжз

Геометрия

4,7(38 оценок)

2, 3, 5 - неверные утверждения

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.