Діагоналі паралелограма дорівнюють 13 см і 11 см, а одна зі сторін - 9 см. Знайдіть периметр паралелограма.

Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх сторін, отже:

ВД²+АС²=АВ²+ВС²+СД²+АД²

Позначимо ВС=АД=х, тоді:

13²+11²=9²+х²+9²+х²

169+121-81-81=х²+х²

128=2х²

х²=64

х=8 (см) друга сторона

Р=АВ+ВС+СД+АД=8+8+9+9=34 (см)

Відповідь: 34 см периметр паралелограма.

Объяснение:

Дано:

АС = 13 см

ВD = 11 см

АВ = 9 см

Знайти: Р (АВСD) - ?

α - гострий кут між діагоналями

а² = b² + c² - 2bc *соs α

соs (180 -  α) = - соs α

Розглянемо трикутник АВС по теоремі косінусів

АС² = АВ² + ВС² - 2 АВ * ВС * соs α

Розглянемо трикутник ABD

BD² = AB² + AD² - 2 AB * AD * соs α  

∠A = ∠В = 180°  BC = AD = x

Звідси маємо:

{13² = 9² + х² - 2* 9x* соs ∠В

{11² = 9² + х² - 2* 9x* соs ∠ А

{∠ А = 180° - ∠В => соs ∠ А = соs(180° - ∠В) = - соs ∠В

{169 = 81 + х² - 18x соs ∠В

{121² = 81 + х² + 18 x* соs ∠ B

Складемо рівняння (1) та (2)

290 = 162 + 2х²

128 = 2 х²

х² = 128 :2

х² = 64

х = 8 см

Периметр паралелограма дорівнює Р = 2 (9 + 8) = 34 (см)

Подсказка линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания. решение пусть радиусы данных окружностей равны r, r и r (r < r). тогда стороны указанного треугольника равны r - r, r - r и 2r. поэтому r - r + r - r + 2r = 2r = 18. следовательно, r = 9. ответ: 9