Точка K рухається по прямій 6x-8y-17=0 Якою буде мінімальна відстань від точки K до нерухомої точки P (3;-5)?
d=

149

437

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

RedHamster

Алгебра

4,8(94 оценок)

Мінімальна відстань від точки до прямої — це перпендикуляр, тому K має бути основою перпендикуляра від точки K на пряму 6x-8y-17=0.

Знайдемо кутовий коефіцієнт (далі — КК) заданої прямої:

$6x-8y-17=0\\8y=6x-17\\y=\dfrac{6}{8}x-\dfrac{17}{8}=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{17}{8}$

КК перпендикулярних прямих пов'язані співвідношенням $k_1 \cdot k_2=-1$ , тому КК перпендикуляра дорівнює:

$\dfrac{3}{4} \cdot k=-1\\k=-\dfrac 43$

Рівняння прямої з КК , яка проходить через точку P(x_0; y_0) , має вигляд:

$y=k(x-x_0)+y_0\\y=-\dfrac 43(x-3)-5$

Щоб знайти координати точки K, складемо систему з рівнянь двох прямих:

$\begin{cases}y=-\dfrac 43(x-3)-5\\6x-8y-17=0\end{cases}\\6x-8 \cdot \left(-\dfrac 43(x-3)-5\right)-17=0\\6x+8 \cdot \left(\dfrac 43(x-3)+5\right)-17=0\\6x+\dfrac{32}{3}(x-3)+40-17=0\\6x+\dfrac{32}{3}x-32+23=0\\6x+\dfrac{32}{3}x=9\\18x+32x=27\\50x=27x=\dfrac{27}{50}\\6 \cdot \dfrac{27}{50}-8y=17\\8y=3 \cdot \dfrac{27}{25}-17\\8y=-\dfrac{344}{25}\\y=-\dfrac{43}{25}$

Итак, координаты точки $K\left(\dfrac{27}{50};-\dfrac{43}{25}\right)$ . Найдём |PK|:

$|PK|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{\left(3-\dfrac{27}{50}\right)^2+\left(-5+\dfrac{43}{25}\right)^2}=\\=\dfrac{41}{10}=4{,}1.$

Відповідь: 4,1 од.

kumalena73

Алгебра

4,7(93 оценок)

Язакинул вам решение .

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.