: а) Решите уравнение cos²x-cos2x=1/2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3P/2;3P]

А) cos²х- cos2х=1/2, используя основное тригонометрическое тождество и косинус двойного угла получаем

(1-sin²х) - (1- 2sin²х )=1/2,

sin²х=1/2,

sinх=√1/2, х= π/4+2πn , х= 5π/4+2πn

и

sinх=-√1/2 ,х=- π/4+2πn , х= -5π/4+2πn.

Объединим корни

х= π/4+2πn и х= -5π/4+2πn ⇒

х= π/4+πn, n∈Z.

Объединим корни

х= -π/4+2πn и х= 5π/4+2πn ⇒

х=-π/4+πn, n∈Z.

ответ . а) = π/4+πn, n∈Z, х= -π/4+πn, n∈Z.

Б) Лучше делать отбор корней на единичной окружности. Здесь представлен другой отбора для [3π/2;3π].

1) 3π/2 ≤ π/4+πn≤3π|(- π/4),

5π/4 ≤ πn≤11π/4 |:π ,

5/4 ≤ n≤11/4 , n∈Z ⇒

n=2, х1= π/4+π*2= 9π/4.

2) 3π/2 ≤ -π/4+πn≤3π|(+ π/4),

7π/4 ≤ πn≤13π/4 |:π ,

7/4 ≤ n≤13/4 , n∈Z ⇒ n=2,3

х2= -π/4+π*2=7π/4, х2== -π/4+π*3=11π/4.

ответ б) 7π/4, 9π/4, 11π/4.

Формулы:    ,

Применим формулу понижения степени :     .

При применении этой формулы не потребуется думать над тем, как объединять корни в единую серию решений .

б)   Отберём корни, принадлежащие заданному отрезку .      

Так как  n - целое ,    , то  n  может принимать значения 3 , 4 , 5 .