Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Точка P на стороне BC такова, что угол APC = 60градусов. Высота PQ и биссектриса AR треугольника APB пересекаются в точке S. Оказалось, что PS = SR. Чему равен угол ABC?

Угол АВС равен 40°.

Объяснение:

Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Точка P на стороне BC такова, что угол APC = 60°. Высота PQ и биссектриса AR треугольника APB пересекаются в точке S. Оказалось, что PS = SR. Чему равен угол ABC?

Дано: ΔАВС - равнобедренный;

Р ∈ ВС, ∠APC = 60°;

PQ - высота, AR - биссектриса ΔАРВ;

PQ ∩ AR = S;

PS = SR.

Найти: ∠АВС.

Пусть ∠BAR = ∠RAP = α (AR - биссектриса ΔАРВ)

1. Рассмотрим ΔARP.

∠APC = 60° - внешний.

⇒ ∠ARP = 60° - α

2. Рассмотрим ΔABP.

∠APC = 60° - внешний.

⇒ ∠ABC = 60° - 2α  (1)

3. Рассмотрим ΔSRP.

PS = SR (условие)

⇒ SRP - равнобедренный.

⇒ ∠SPR = ∠ARP = 60° - α

4. Рассмотрим ΔQBP.

PQ - высота ΔАРВ.

⇒ ΔQBP - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АВС = 90° - ∠SPR = 90° - 60° + α = 30° + α  (2)

5. Приравняем выражения (1) и (2) и найдем α:

60° - 2α = 30° + α

3α = 30°

α = 10°

⇒ ∠АВС = 30° + α = 30° + 10° = 40°.

Угол АВС равен 40°.