решить систему уравнений

Відповідь:

1) х=5,  у=3 или (5;3)

2) х=5,  у=-3 или (5;-3)

3)   ,  или

4)  ,  или

Пояснення:

Сначала нужно бы найти ОДЗ, но мы потом сделаем проверку, что бы исключить ненужные корни.

Как видим, в первом уравнении есть в знаменатели х+у и корень из х+у.

Что бы от него избавится, умножим первое уравнение на х+у, считая что х+у положительное значение (что бы внести под корень) .

А из второго выразим х²

В первом уравнении получилась формула (х-у)(х+у)=х²-у²

А потом заменим х² на 34-у²

Сделаем замену переменных  

У нас получилось квадратное уравнение с коэффициентами a=1, b=1, c=-20

Найдем сначала дискриминант по формуле: , а потом и корни уравнения по формулах        и  

Теперь возвращаемся к замене переменных:

(Так как корень не может быть отрицательным числом, то этот вариант нам не подходит)

Еще раз возвращаемся до того момента, когда мы х² выражали через у²

Такие же корни будут при (-3), поскольку в квадрате минус исчезнет, и будет то же что и с 3 в квадрате!

Теперь у нас есть 4 разных значения, и нужно сделать проверку на ОДЗ для всех возможных значений. Сначала будем проверять, не отрицательное значение ли под корнем, а затем все остальное.

1) х=5,  у=3

Такая пара корней нам подходит (5;3)

2) х=5,  у=-3

Такая пара корней нам подходит (5;-3)

3) х=-5,  у=-3

Такая пара корней нам не подходит

4) х=-5,  у=3

Такая пара корней нам не подходит

Теперь, что бы избавится от знаменателя, умножим первое уравнение на -(х+у), считая что х+у отрицательное значение (что бешим.

Сделаем замену переменных  

(Так как корень не может быть отрицательным числом, то этот вариант нам не подходит)

Нам подойдут только пары, которые меньше нуля:

Только и

и и

Объяснение:

Чтобы уравнение было менее страшным, введём новые обозначения.

Обозначим x + y = u.

Чтобы было проще извлечь корень

удобно обозначить x - y = uv², причем для определённости примем v ≥ 0. Тогда весь корень равен просто v.

Рассмотрим, что получится, если подставить новые переменные в первое уравнение:

После замены переменных t = uv получается квадратное уравнение t² + t = 20, корни которого угадываются по теореме Виета, это t = -5 или t = 4.

Итак, uv = -5 или uv = 4. Тогда x - y = uv · v = -5v или 4v.

Поскольку по договоренности v ≥ 0, u должно быть отрицательным.

Заметим, что (x - y)² + (x + y)² = x² - 2xy + y² + x² + 2xy + y² = 2(x² + y²) = 68 в соответствии со вторым уравнением. Тогда, подставив новые переменные, получаем:

u² + 25v² = 68

При этом u² · 25v² = 25(uv)² = 25², значит по теореме Виета u² и 25v² — корни квадратного уравнения t² - 68t + 25² = 0.

Выделяем полный квадрат:  t² - 68t + 25² = t² - 2 · 34t + 34² + (25² - 34²) = (t - 34)² + (25 - 34)(25 + 34) = (t - 34)² - 9 · 59

Значит, t = 34 ± 3√59 — оба корня положительные. Получаем два варианта:

1) , . В терминах x и y это приводит к такой системе уравнений:

Полусумма и полуразность этих уравнений даёт x и y

2)  , . Аналогично,

Здесь u должно быть положительным. Следуя первому случаю, последовательно находим:

u² + 16v² = 68

При этом u² · 16v² = 16(uv)² = 16², значит по теореме Виета u² и 16v² — корни квадратного уравнения t² - 68t + 16² = 0.

Выделяем полный квадрат:  t² - 68t + 16² = t² - 2 · 34t + 34² + (16² - 34²) = (t - 34)² + (16 - 34)(16 + 34) = (t - 34)² - 30²

Значит, t = 34 ± 30, t = 4 или t = 64. Получаем два варианта:

1) u = 2, 4v = 8. В терминах x и y это приводит к такой системе уравнений:

Решение этой системы уравнений — x = 5, y = 3

2) u = 8, 4v = 2. Аналогично, x = 5, y = -3.

Решения для "первого случая" (когда x - y = -5v) выглядят громоздко. В принципе, их можно оставить и так, но можно немного упростить.

Попробуем извлечь корень, возможно это как-то . Положим

Возведём в квадрат:

Чтобы равенство выполнялось, достаточно потребовать

Еще раз вспоминаем теорему Виета, a и b оказываются корнями уравнения

Корни этого уравнения 9/2 и 59/2. Так как , то a должно быть больше b. Значит,

Если подставить полученные значения вместо корней в решение для первого случая, получится пара корней