Регистрация Спросить otvet5GPT
Алинкамалинка3422
30.05.2021 14:19
Алгебра
Есть ответ 👍

Вычислить комплексное число в виде тригонометрической записи
(1+i)⁹×(1-i)¹⁵

225
491
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Barbara123456
Barbara123456
4,8(91 оценок)

(1+i)^9\cdot (1-i)^{15}

Рассмотрим число z=1+i. Запишем его в тригонометрической форме:

|z|=\sqrt{1^2+1^2} =\sqrt{2}

\arg z=\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{1} =\dfrac{\pi }{4}

\Rightarrow 1+i=\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi }{4} +i\sin\dfrac{\pi }{4}\right)

Аналогично, преобразуем число z=1-i:

|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2} =\sqrt{2}

\arg z=\mathrm{arctg}\,\dfrac{-1}{1} =-\dfrac{\pi }{4}

\Rightarrow 1-i=\sqrt{2} \left(\cos\left(- \dfrac{\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{\pi }{4}\right)\right)

Для возведения комплексного числа в степень воспользуемся формулой Муавра:

(\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)

Получим:

(1+i)^9=\left(\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi }{4} +i\sin\dfrac{\pi }{4}\right)\right)^9=(\sqrt{2})^9 \left(\cos \dfrac{9\pi }{4} +i\sin\dfrac{9\pi }{4}\right)

(1-i)^{15}=\left(\sqrt{2} \left(\cos\left(- \dfrac{\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{\pi }{4}\right)\right)\right)^{15}=

=(\sqrt{2})^{15} \left(\cos\left(-\dfrac{15\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{15\pi }{4}\right)\right)

Далее, воспользуемся правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

\rho_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\cdot\rho_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=\rho_1\rho_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))

Получим:

(\sqrt{2})^9 \left(\cos \dfrac{9\pi }{4} +i\sin\dfrac{9\pi }{4}\right)\cdot(\sqrt{2})^{15} \left(\cos\left(-\dfrac{15\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{15\pi }{4}\right)\right)=

=(\sqrt{2})^{9+15} \left(\cos\left(\dfrac{9\pi }{4}-\dfrac{15\pi }{4}\right) +i\sin\left(\dfrac{9\pi }{4}- \dfrac{15\pi }{4}\right)\right)=

=(\sqrt{2})^{24} \left(\cos\left(-\dfrac{6\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{6\pi }{4}\right)\right)=2^{12} \left(\cos\left(-\dfrac{3\pi }{2}\right) +i\sin\left(- \dfrac{3\pi }{2}\right)\right)=

=4096 \left(\cos\left(2\pi -\dfrac{3\pi }{2}\right) +i\sin\left(2\pi - \dfrac{3\pi }{2}\right)\right)=\boxed{4096 \left(\cos\dfrac{\pi }{2}+i\sin\dfrac{\pi }{2}\right)}

Получен ответ в тригонометрической форме записи. При необходимости его представить в алгебраической:

4096 \left(\cos\dfrac{\pi }{2}+i\sin\dfrac{\pi }{2}\right)=4096(0+i\cdot1)=4096i

Решение можно было несколько упростить, применив в начале формулу разности квадратов:

(1+i)^9\cdot (1-i)^{15}=(1+i)^9\cdot (1-i)^9\cdot(1-i)^6=((1+i)(1-i))^9\cdot(1-i)^6=

=(1^2-i^2)^9\cdot(1-i)^6=(1+1)^9\cdot(1-i)^6=2^9\cdot(1-i)^6=

=2^9\cdot\left(\sqrt{2} \left( \cos\left(- \dfrac{\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{\pi }{4}\right)\right)\right)^6=

=2^9\cdot(\sqrt{2})^6 \left( \cos\left(- \dfrac{6\pi }{4}\right) +i\sin\left(- \dfrac{6\pi }{4}\right)\right)=

=2^{9+3} \left( \cos\left(2\pi - \dfrac{3\pi }{2}\right) +i\sin\left(2\pi - \dfrac{3\pi }{2}\right)\right)=\boxed{4096 \left( \cos\dfrac{\pi }{2} +i\sin\dfrac{\pi }{2}\right)}

Алентина
Алентина
4,7(6 оценок)
График парабола симметричная оси ординат, функция не квадратичная, а в 4 степени, чётная, область определения возрастает в промежутке [0; +) и убывает в промежутке (–; 0] область значений функции есть множество неотрицательных чисел

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS