подливка228

28.05.2023 02:43

Математика

Есть ответ 👍

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение. Задача. Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что счастливых билетов столько же, сколько билетов с суммой цифр 27.

Решение. Установим взаимно-однозначное соответствие между счастливыми билетами и билетами с суммой цифр 27. Каждому счастливому автобусному билету abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ поставим в соответствие билет
Выбрать
. Например, счастливому билету 149374 будет соответствовать билет
Выбрать
с суммой цифр 27.

Ясно, что у поставленного в соответствие билета в каждом из разрядов стоит цифра от 0 до 9. Также легко проверить, что если у него сложить все цифры, то получится 27.

Каждому билету с суммой цифр 27 соответствует единственный счастливый билет. Действительно, для каждого билета pqrxyz¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯, где p+q+r+x+y+z=27, соответствующий ему билет имеет вид
Выбрать
. Например, билету 928116 соответствует счастливый билет
Выбрать
.

Ясно, что у соответствующего билета в каждом из разрядов стоит цифра от 0 до 9. Также легко проверить, что сумма первых трёх его цифр равна сумме трёх последних его цифр. Следовательно, билет, который соответствует данному, является счастливым, и он такой один.

Итак, построенное взаимно-однозначное соответствие позволяет разбить счастливые автобусные билеты и билеты с суммой цифр 27 на пары, поэтому таких билетов поровну.