Математика: Найти sin α и cos α, если tg α/2 = 5.

MrNazick

04.10.2020 11:51

Математика

Есть ответ 👍

Найти sin α и cos α, если tg α/2 = 5.

167

232

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

nazipovadk

Математика

4,7(7 оценок)

$\sin{\alpha}=\dfrac{5}{13},\cos{\alpha}=-\dfrac{12}{13}$

Пошаговое объяснение:

Пусть $tg\dfrac{\alpha}{2}=t,\alpha\in (-\pi,\pi)$ . Тогда $\dfrac{\alpha}{2}=arctg\ t, \alpha =2arctg\ t$ .

$\sin{\alpha}=\sin{(2arctg\ t)}=2\cdot\sin{arctg\ t}\cdot\cos{arctg\ t}$

Найдём синус и косинус от арктангенса. Поскольку $tg^2{x}+1=\dfrac{1}{\cos^2{x}}\Rightarrow \cos{x}=\sqrt{\dfrac{1}{tg^2{x}+1}}$ , то $\cos{arctg\ t}=\sqrt{\dfrac{1}{tg^2arctg\ t+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$

Поскольку $ctg^2{x}+1=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{tg^2{x}}+1=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Leftrightarrow \dfrac{1+tg^2{x}}{tg^2{x}}=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Rightarrow\\\Rightarrow \sin{x}=\sqrt{\dfrac{tg^2{x}}{tg^2{x}+1}}=\dfrac{tg\ x}{\sqrt{tg^2{x}+1}}$ , то $\sin{arctg\ t}=\dfrac{tg\ arctg\ t}{\sqrt{tg^2{arctg\ t}+1}}=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}$ .

Получаем: $\sin{\alpha}=2\cdot\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{2t}{t^2+1}$

$\cos{\alpha}=\cos{(2arctg\ t)}=\cos^2{arctg\ t}-\sin^2{arctg\ t}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2-\\ -\left(\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2=\dfrac{1}{t^2+1}-\dfrac{t^2}{t^2+1}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

При t = 5: $\sin{\alpha}=\dfrac{2\cdot 5}{5^2+1}=\dfrac{10}{26}=\dfrac{5}{13},\cos{\alpha}=\dfrac{1-5^2}{1+5^2}=\dfrac{-24}{26}=-\dfrac{12}{13}$

P. S. Эта замена (через тангенс половинного угла) называется универсальной тригонометрической подстановкой.

kamillavoice

Математика

4,4(61 оценок)

Эх ты=)

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.