Сколько натуральных делителей имеет число 10!=1•2•3•4•5•6•7•8•9?

Сделаем факторизацию числа 10!, т. е разложим в произведение простых чисел.

Показатель степени, с которым простое число 2 будет входить в разложение 10! равен:

[10/2] + [10/2²] + [10/2³] = 5 + 2 + 1 = 8;

Показатель степени, с которым простое число 3 будет входить в разложение 10! равен:

[10/3] + [10/3²] = 3 + 1 = 4;

Показатель степени, с которым простое число 5 будет входить в разложение 10! равен:

[10/5] = 2

Показатель степени, с которым простое число 7 будет входить в разложение 10! равен:

[10/7] = 1.

Тогда 10! = 2⁸·3⁴·5²·7. Следовательно каноническое разложение любого делителя числа 10! будет содержать не более восьми множителей, равных 2, не более четырех множителей, равных 3, не более двух множителей, равных 5, и не более одного множителя, равного 7.

То есть любой делитель d имеет вид:d = 2ª · 3ᵇ · 5ᶜ · 7ᶠ, где 0 ≤ a ≤ 8, 0 ≤ b ≤ 4, 0 ≤ c ≤ 2, 0 ≤ f ≤ 1. Вот перебирая все возможные значения показателей a, b, c, f, можно получить все делители числа 10!.

Ну, а так как число a может принимать 9 различных значений, число b — 5 значений, c — 3 значения, f — 2 значения, то по правилу произведения (комбинаторика) получаем, что общее количество делителей: 9·5·3·2 = 270.

ответ: 270 делителей.

Пошаговое объяснение: