Даны векторы a, b, c. Показать, что векторы a и b образуют базис. Разложить вектор c по векторам a и b

Пошаговое объяснение:

Базис. Векторы a и b образуют базис, поскольку на плоскости (у векторов по две координаты) любые два линейно независимых вектора образуют базис (поскольку пространство двумерно), а линейная независимость на плоскости эквивалентна условию, что векторы непараллельны, т.е. их координаты непропорциональны. Впрочем, можно подойти и формально, записав линейную комбинацию векторов a и b, а также приравняв её к нулю:

где - числа. В силу того, что определитель матрицы векторов не равен нулю (матрица невырожденная), существует только нулевое решение, что означает линейную независимость векторов a и b.

Разложение. Чтобы найти разложение вектора c по базису, приравняем линейную комбинацию векторов a и b к вектору c:

Домножим левую и правую часть слева на обратную матрицу коэффициентов векторов:

Е - единичная матрица, можно опустить (получается при перемножении матрицы и обратной к ней).

Итак,

Значит, .

Прямой проверкой можно убедиться в правильности ответа: