Регистрация Спросить otvet5GPT
Lerosha14
15.08.2020 13:03
Математика
Есть ответ 👍

Даны векторы a, b, c. Показать, что векторы a и b образуют базис. Разложить вектор c по векторам a и b

277
350
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Natalia10000
Natalia10000
4,4(67 оценок)

c = 2a+b

Пошаговое объяснение:

Базис. Векторы a и b образуют базис, поскольку на плоскости (у векторов по две координаты) любые два линейно независимых вектора образуют базис (поскольку пространство двумерно), а линейная независимость на плоскости эквивалентна условию, что векторы непараллельны, т.е. их координаты непропорциональны. Впрочем, можно подойти и формально, записав линейную комбинацию векторов a и b, а также приравняв её к нулю:

\alpha a+\beta b=0

\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0 \end{array}\right]

где \alpha , \beta - числа. В силу того, что определитель матрицы векторов не равен нулю (матрица невырожденная), существует только нулевое решение, что означает линейную независимость векторов a и b.

Разложение. Чтобы найти разложение вектора c по базису, приравняем линейную комбинацию векторов a и b к вектору c:

\alpha a+\beta b=c

\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right]

Домножим левую и правую часть слева на обратную матрицу коэффициентов векторов:

E*\left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} * \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right]

Е - единичная матрица, можно опустить (получается при перемножении матрицы и обратной к ней).

\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{7}{26} &\frac{1}{26} \\\frac{5}{26} &-\frac{3}{26} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} * \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{7}{26} &\frac{1}{26} \\\frac{5}{26} &-\frac{3}{26} \end{array}\right]* \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right]

Итак,

\alpha =2, \beta =1.

Значит, c = 2a+b.

Прямой проверкой можно убедиться в правильности ответа:

2a+b = 2*(3;5)+(1;-7) = (6;10)+(1;-7) = (7;3) = c.

kelaruu
kelaruu
4,8(75 оценок)
Решение в

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS