Регистрация Спросить otvet5GPT
alinatitova228
11.01.2020 12:45
Алгебра
Есть ответ 👍

X²-92=y²+2y Найдите количество пар целых чисел

168
473
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

McMamon
McMamon
4,8(15 оценок)

x^2-92=y^2+2y

Заметим, что если в правой части добавить 1, то получим формулу квадрата суммы. Тогда, добавим 1 и в левой и в правой части:

x^2-92+1=y^2+2y+1

x^2-91=(y+1)^2

x^2-(y+1)^2=91

Применим формулу разности квадратов:

(x-y-1)(x+y+1)=91

Заметим, что если x,y\in\mathbb{Z}, то обе скобки, записанные в левой части, дают целые числа.

Разложим число 91 на простые множители:

91=7\cdot13

Тогда, число 91 можно получить путем умножения либо чисел 7 и 13, либо чисел 1 и 91. Нужно учесть, что эти числа могут умножаться в разных порядках, а также то, что оба множителя могут поменять знак на противоположный.

Таким образом есть 8 упорядоченных пар целых чисел, в произведении дающих 91:

(1;\ 91);\ (7;\ 13);\ (13;\ 7);\ (91;\ 1);\\ (-1;\ -91);\ (-7;\ -13);\ (-13;\ -7);\ (-91;\ -1)

Но данные пары целых чисел соответствуют скобкам в произведении (x-y-1)(x+y+1)=91. Необходимо проверить, будут ли сами числа x и y в каждом из этих случаев целыми. Можно составить и решить 8 систем, но вместо этого мы составим одну систему в общем виде, решим ее опять же в общем виде и проанализируем результаты.

Рассмотрим систему:

\begin{cases} x-y-1=A \\ x+y+1=B \end{cases}

Пусть A и B - целые числа. Решим систему методом сложения. Сложив уравнения, получим:

2x=A+B

x=\dfrac{A+B}{2}

Заметим, что x является целым числом, когда A и B имеют одинаковую четность.

Из второго уравнения выразим y:

y=B-1-x

y=B-1-\dfrac{A+B}{2} =\dfrac{2B-2-A-B}{2} =\dfrac{B-A}{2}-1

Аналогично, y является целым числом, когда A и B имеют одинаковую четность.

Но все числа в наших парах:

(1;\ 91);\ (7;\ 13);\ (13;\ 7);\ (91;\ 1);\\ (-1;\ -91);\ (-7;\ -13);\ (-13;\ -7);\ (-91;\ -1)

имеют одинаковую четность. Значит, все 8 систем дадут по одному решению в целых числах. Таким образом, исходное уравнение имеет 8 решений в целых числах.

ответ: 8

Сельга7
Сельга7
4,8(3 оценок)
Очевидно, что искать надо среди чисел, которые на 1 меньше полных квадратов, т.к. дробная часть корня этих чисел будет максимально приближена к 0,99. т.к.  √n=a, получаем неравенство √n≥a,99, √n≥a+0,99 обозначим    (1), одновременно с этим должно выполняться неравенство  √n< a+1 обозначим (2) т.к. число n   на 1  меньше полного квадрата, то  √(n+1)=a+1 обозначим (3), возведем обе части (3) в квадрат, получим n+1=a²+2a+1, n=a²+2a (4), возведем   обе части (2)в квадрат, получим n< a²+2a+1, подставим n из (4), получим a²+2a< a²+2a+1, 0< 1, что всегда выполняется, значит, при данных условиях неравенство (2) всегда выполняется.тогда, получаем, что нужно решить систему    √n≥a+0,99  (1),  √(n+1)=a+1  (3), где n,a  - натуральные числа, и надо найти наименьшие.мы уже получили равенство (4) из равенства (3). возведем в квадрат обе части (1) и подставим n из (4): n≥(a+0,99)², a²+2a≥a²+1,98a+0,9801, 0,02a≥0,9801, a≥0,9801/0,02, a≥49,005 ближайшее целое a=50, тогда  √(n+1)=51, n+1=2601, n=2600 ответ: наименьшее  n=2600

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS