Регистрация Спросить otvet5GPT
basik2017
13.02.2022 19:20
Алгебра
Есть ответ 👍

, если кто-то знает , хотя бы без объяснений

187
495
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

npapriko
npapriko
4,6(11 оценок)

Задание 1.

Выберем в \mathbb{R}^2 стандартный базис (то есть векторы (1,0) и (0,1)). В \mathbb{R}^4 выбираем тоже стандартный базис. Образы базисных векторов: F(1,0,0,0) = (1,1),\; F(0,1,0,0) = (-s_{2},-s_{4}) = (-2,-2),\; F(0,0,1,0) = (0,1),\; F(0,0,0,1) = (s_{1},s_{3}) = (1,2). Здесь уже есть два линейно независимых вектора: F(1,0,0,0) и F(0,0,1,0), а потому \mathrm{Im}\;F = \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathrm{dim}\;\mathrm{Im}\;F = 2 (а базис приведен чуть выше). Теперь ясно какая размерность ядра: \mathrm{dim}\; \mathbb{R}^{4} = \mathrm{dim}\;\mathrm{Im}\; F + \mathrm{dim}\;\mathrm{ker}\; F \Rightarrow \mathrm{dim}\;\mathrm{ker}\;F = 4 - 2 = 2. Элементы ядра должны удовлетворять системе \begin{cases}x-2y+t=0\\x-2y+z+2t=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}z=-t\\x-2y+t=0\end{cases}. Уже отсюда можно было понять, что размерность ядра равна двум: четыре переменные и два уравнения, ограничивающие их. Тогда положив z=0, получим, например, решение x=2,\; y=1, а для z=1 подойдет x=3,\; y=1. Итого два вектора: (2,1,0,0),\; (3,1,1,-1). Линейная независимость этих векторов гарантирует, что они являются базисом ядра.

Задание 2.

Чтобы показать, что S является базисом в \mathbb{R}^2 достаточно показать, что она линейно независима (достаточно, поскольку вектора два, а размерность \mathbb{R}^2 равна двум). В нашем случае система состоит из одного вектора u_{1} = u_{2} = (1,2) и потому не может быть базисом в \mathbb{R}^2. Часть 2 решить все-таки не могу, поскольку S -- не базис.

Задание 3.

(A)

q_{1} = 3 = 3+0\cdot x+0\cdot x^2 \Rightarrow q_{1} = (3,0,0), q_{2} = x+6 = 6+1\cdot x+0\cdot x^2 \Rightarrow q_{2} = (6,1,0), q_{3} = 3x^2 = 0+0\cdot x + 3\cdot x^2 \Rightarrow q_{3} = (0,0,3).

(B)

Поскольку размерность \mathbf{P}_{2} равна трем, то для того чтобы показать, что (q_{1},q_{2},q_{3}) -- базис, достаточно показать, что они линейно независимы. Это легко видеть хотя бы потому, что ранг матрицы \left(\begin{array}{ccc}3&6&0\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\right) равен трем (поскольку ее определитель, равный 9, ненулевой).

Задание 4.

В нашем случае имеем систему \begin{cases}x_{1}-x_2+2x_3-2x_{4}=0\\ 2x_2+3x_4=0 \end{cases}. Количество решений зависит от размерности пространства, которое задает данная система. По сути, можно рассматривать отображение F:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2 такое, что F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4},2x_{2}+3x_{4}). Тогда система задает ядро этого отображения, размерность которого в новой интерпретации ищется просто -- точно так же, как мы делали это в первой задаче. Образы базисных векторов: F(1,0,0,0) = (1,0),\; F(0,1,0,0) = (-1,2),\ldots дальше считать не стал, поскольку уже первые два вектора линейно независимы. Значит, размерность образа равна двум, но тогда ядро имеет размерность 4-2=2. Следовательно, ядро как множество бесконечно (было бы конечным только в случае нульмерного ядра). То есть имеем две свободные переменные. Например, систему можно свести к \begin{cases}x_{1}+2x_3-\dfrac{1}{2}x_{4}=0\\ x_2+\dfrac{3}{2}x_4=0 \end{cases}, тогда переменные x_{1},x_{2} будут базисными, а x_{3},x_{4} -- свободными. Ненулевое решение предъявить просто: (1,-3,0,2)Пространство решений есть ядро F,  а поскольку его размерность два, нам достаточно найти два линейно независимых решений системы. Одно мы уже нашли. Теперь положим x_{3}=1 и тогда (-1,-3,1,2) -- решение. Но это два линейно независимых решения, а потому они образуют базис пространства решений.

Задание 5.

1. В нашем случае A_{1} = \{(x,0,z)\in \mathbb{R}^{3}|2y+2z=0\} = \{(x,0,z)\in \mathbb{R}^{3}|y+z=0\}. Легко видеть, что берутся числа вида (x,0,z), то есть y=0 и потому z=0, значит, A_{1} состоит из тех и только тех чисел, у которых две последние координаты нулевые. Следовательно, A_{1} является подпространством, потому что это множество замкнуто относительно суммы ((a,0,0)+(b,0,0) = (a+b,0,0)) и умножения на скаляр.

2. A_{2} = \{(0,y,z)\in\mathbb{R}^3|2y+2z\geq 1\}. Несмотря на то что это множество замкнуто относительно суммы, оно не замкнуто относительно умножения на скаляр. В самом деле, например, (0,1,1) лежит в множестве, однако (0,-1,-1) -- не лежит. Следовательно, это множество не является подпространством.

3. A_{3} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}| x\leq 0,\; y\in\mathbb{R},\; z\geq 2\}. Здесь те же причины: (-1,0,2) лежит в множестве, а  (-1)\cdot (-1,0,2) = (1,0,-2) -- нет.

mmmdz
mmmdz
4,7(19 оценок)

1)(m+4)² - 4(m+1)² = m² + 8m + 16 - 4 (m² + 2m + 1) = m² + 8m + 16 - 4m² - 8m - 4 = - 3m² + 12

2) 3(2-y)² + 4(y-5)² = 3 (4-4y+y²) + 4 (y² - 10y + 25) = 12 - 12y + 3y² + 4y² - 40y + 100 = 112 - 52y + 7y² = 7y² - 52y + 112

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS