Решите систему неравенств

В решении.

Объяснение:

1. Решить систему неравенств:

х² - 4х < 0

x² - x - 6 >= 0

Решить первое неравенство:

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

х² - 4х = 0

х(х - 4) = 0

х₁ = 0;

х - 4 = 0

х₂ = 4;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х=0 и х=4.

у < 0 (как в неравенстве) при х от 0 до х=4, график ниже оси Ох.

Решения неравенства: х∈(0; 4).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Решить второе неравенство:

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

x² - x - 6 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 1 + 24 = 25        √D=5

х₁=(-b-√D)/2a  

х₁=(1-5)/2

х₁= -4/2

х₁= -2;              

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(1+5)/2

х₂=6/2

х₂=3;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х= -2 и х=3.

у >= 0 (как в неравенстве) при х от -∞ до х= -2 и от х=3 до +∞, график выше оси Ох.

Решения неравенства: х∈(-∞; -2]∪[3; +∞).

Уравнение нестрогое, скобка квадратная, а знаки бесконечности всегда под круглой скобкой.

Отметить на числовой оси схематично решения неравенств:

-∞                       -2                    0               3              4               +∞  

Точки х= -2 и х = 3 - закрашенные.

Пересечение решений: х∈[3; 4) (двойная штриховка).

Решения системы неравенств: х∈[3; 4).

2. Решить систему неравенств:

4х² - 1 > 0

2x² - 5x + 3 < 0

Решить первое неравенство:

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

4х² - 1 = 0

4х² = 1

х² = 1/4

х = ±√1/4

х = ±1/2 = ±0,5;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х= -0,5 и х=0,5.

у > 0 (как в неравенстве) при х от -∞ до х= -0,5 и от х=0,5 до +∞, график выше оси Ох.

Решения неравенства: х∈(-∞; -0,5)∪(0,5; +∞).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Решить второе неравенство:

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

2x² - 5x + 3 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 25 - 24 = 1        √D=1

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(5-1)/4

х₁=4/4

х₁=1;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(5+1)/4

х₂=6/4

х₂=1,5;

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вверх, пересекают ось Ох в точках х=1 и х=1,5.

у < 0 (как в неравенстве) при х от 1 до х=1,5, график ниже оси Ох.

Решения неравенства: х∈(1; 1,5).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Отметить на числовой оси схематично решения неравенств:

-∞                -0,5              0,5               1                       1,5                 +∞

Пересечение решений: х∈(1; 1,5) (двойная штриховка).

Решения системы неравенств: х∈(1; 1,5).

ужужуцжддудуд ьктклклу