Заданы точки A(8, 1, 7), B(9, 7, 4), C(6, 16, 4), D(1, 7, 4). Найти: 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими
плоскостями; 6) площадь треугольника BCD; 7) расстояние от точки B до
плоскости ACD; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость;
9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения
медиан треугольника ABC.

Заданы точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4). Найти:

5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими

плоскостями;  

6) площадь треугольника BCD;  

7) расстояние от точки B до плоскости ACD;  

8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость;

9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

5) Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:

x - xA             y - yA             z - zA

xB - xA         yB - yA            zB - zA

xC - xA         yC - yA            zC - zA = 0

Подставим данные для плоскости АВС и упростим выражение:  

A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).

  x - 8             y – 1                z - 7

 9 - 8              7 – 1               4 - 7

 6 - 8            16 – 1               4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    1                   6                    -3

   -2                  15                   -3 = 0

(x – 8)(6·(-3)-(-3)·15) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-2)) + (z – 7)(1·15-6·(-2)) = 0

27(x – 8) + 9(y – 1) + 27(z – 7) = 0

27x + 9y + 27z - 414 = 0, сократив на 9, получаем:

3x + y + 3z - 46 = 0

ответ: уравнение плоскости АВС 3x + y + 3z - 46 = 0.

Аналогично подставляем данные для плоскости ABD.

A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), D(1; 7; 4).

  x - 8             y – 1                z - 7

 9 - 8              7 – 1               4 - 7

 1 - 8              7 – 1               4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    1                   6                    -3

   -7                   6                   -3 = 0

(x – 8)(6·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)(1·6-6·(-7)) = 0

0(x – 8) + 24(y – 1) + 48(z – 7) = 0

0x + 24y + 48z - 360 = 0, сократив на 12, получаем

2y + 4z - 30 = 0.

ответ: уравнение плоскости АВD 2y + 4z - 30 = 0.

Вычислим угол между плоскостями

3x + y + 3z - 46 = 0 и

2y + 4z - 30 = 0.

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))

cos α = |3·0 + 1·2 + 3·4|/(√(3² + 1² + 3²)*√(0² + 2² + 4²)) =

= |0 + 2 + 12|/(√(9 + 1 + 9)*√(0 + 4 + 16)) =

= 14/(√19*√20) = 14/√380 = 7√95/95 ≈ 0,71819.

α = 44,09518°.

6) Найдем площадь грани ВСD с учётом геометрического смысла векторного произведения:

 S=1/2*□((BC) ⃗*(BD) ⃗ ).

Находим вектор ВC.  

ВC = C(6; 16; 4) - В(9; 7; 4) = (-3; 9; 0).

Находим вектор ВD.  

ВD = D(1; 7; 4) - В(9; 7; 4) = (-8; 0; 0).

Векторное произведение:

  i      j       k

-3   9     0

-8   0  0  = i(9·0-0·0) - j((-3)·0-0·(-8)) + k((-3)·0-9·(-8)) =

                   =0i + 0j + 72k.

Получен нормальный вектор плоскости BCD, равный (0; 0; 72).

Площадь грани BCD равна половине модуля векторного произведения.

S(BCD) = (1/2)√(0² + 0² + 72²) = (1/2)√(0 + 0 + 5184) = (1/2)*72 = 36 кв. ед.

7) ) Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости ACD, сначала определяем уравнение плоскости ACD.

Подставим данные для плоскости АCD и упростим выражение:  

A(8; 1; 7), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4).

  x - 8             y – 1                 z - 7

 6 - 8              16 – 1               4 - 7

 1 - 8               7 – 1                4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    -2                15                    -3

   -7                  6                     -3 = 0

(x – 8)(15·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)((-2)·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)((-2)·6-15·(-7)) = 0

(-27)(x – 8) + 15(y – 1) + 93(z – 7) = 0

(-27)x + 15y + 93z - 450 = 0, сократив на (-3), получаем:

уравнение плоскости ACD 9x - 5y - 31z + 150 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:  

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).

Подставим в формулу данные:

d = |9·9 + (-5)·7 + (-31)·4 + 150|/√(9² + (-5)² + (-31)²) =  

= |81 - 35 - 124 + 150|/√(81 + 25 + 961) =

= 72/√1067 = 72√1067/1067 ≈ 2,2042.

8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость.

Точка E - это проекция точки A на плоскость BCD.  

Уравнение плоскости BCD определим по ранее найденному нормальному вектору плоскости BCD (0; 0; 72) и точке В(9; 7; 4).

Нормальный вектор этой плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Сначала по этим данным определяем уравнение плоскости BCD.

(x – 9)*0 + (y – 7)*0 + (z – 4)*72 = 0,

72z – 288 = 0, сократив на 72, получаем:

уравнение плоскости BCD z – 4 = 0

Из этих же данных получаем уравнение перпендикуляра из точки А(8; 1; 7).

((x - 8)/0 = (y - 1)/0 = ((z – 7)/72.

Так как плоскость BCD имеет все точки с равными значениями аппликат (z = 4), то и проекция точки А на эту плоскость тоже будет иметь эту же координату по оси Оz.

Получаем проекцию E точки А на плоскость BCD:

E(8; 1; 4).

9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения

медиан треугольника ABC.

Находим координаты точки М как среднее арифметическое координат вершин треугольника АВС.

Точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).

М = ((8+9+6)/3; (1+7+16)/3; (7+4+4)/3) = (23/3; 8; 5).

Находим вектор DM.  

DM = M((23/3); 8; 5) - D(1; 7; 4) = (20/3; 1; 1).

По этому направляющему вектору и точке D(1; 7; 4) сотавляем каноническое уравнение прямой DM.

(x – 1)/(20/3) = (y – 7)/8 = (z – 4)/5.

Приравняем эти равенства параметру t и получаем параметрические уравнения прямой DM.

(x – 1)/(20/3) = t, x = (20/3)t + 1.

(y – 7)/8 = t,        y = 8t + 7.

(z – 4)/5 = t,        z = 5t + 4.

Если продлить секущие до пересечения, то получится треугольник, очевидно подобный исходному (уж точно с равными углами). далее, у этих треугольников общая вписанная окружность, и точки касания параллельных сторон  попарно лежат на противоположных концах диаметров  (это - главный момент доказательства, я конечно, мог бы и не заострять   поэтому при вращении на 180 ° вокруг центра окружности  точки касания "переходят в себя", следовательно, "переходят в себя" стороны треугольников (они перпендикулярны этим диаметрам).то есть эти треугольники равны, и - поскольку отрезки стороны между секущими "переходят" в отрезки секущих между сторонами (тоже момент интересный - точка пересечения однозначно определяется двумя прямыми, и если две прямые переходят в две другие прямые, то точка пересечения переходит в понятно : они тоже равны.  то есть это равенство отрезков не есть свойство только заданного треугольника, оно выполнено для произвольного треугольника.периметр каждого отсеченного треугольника равен сумме длин двух равных  отрезков касательных из соответствующей вершины (в этом утверждении равенство касательных использовано дважды - равны отрезки касательной из вершины а и из вершин шестиугольника, ближайших к а, поэтому периметр равен .. ну, понятно). если обозначить отрезки касательных из вершины а за x, из b за y, из с за z, тоx + y = 5; x + z = 7; y + z = 6; откуда x = 3; (можно и остальные найти легко, y = 2; z = 4)то есть периметр отсеченного треугольника с вершиной а равен 2*х = 6; периметр подобного ему исходного треугольника равен 5 + 6 + 7 = 18; то есть в 3 раза больше. поэтому площадь малого треугольника равна 1/9 площади авс.осталось сосчитать площадь авс, например, по формуле герона.p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2;   s^2 = 9*4*3*2; s = 6 √6; поэтому площадь малого треугольника 2 √6/3;