Заданы точки A(8, 1, 7), B(9, 7, 4), C(6, 16, 4), D(1, 7, 4). Найти:

Дан ответ на первые 4 вопроса.

Остальные надо выложить в отдельном задании.

Заданы точки A(8, 1, 7), B(9, 7, 4), C(6, 16, 4), D(1, 7, 4). Найти:

1) Находим векторы AC и AD.

АC = C(6; 16; 4) - A(8; 1; 7) = (-2; 15; -3),  

модуль АС = √((-2)² + 15² + (-3)²) = √(4 + 225 + 9) = √238.

Находим вектор АD.  

АD = D(1; 7; 4) - A(8; 1; 7) = (-7; 6; -3).

модуль АD = √((-7)² + 6² + (-3)²) = √(49 + 36 + 9) = √94.

Скалярное произведение векторов AC и AD равно:

AC*AD = (-2)*(-7) + 15*6 + (-3)*(-3) = 14 + 90 + 9 = 113.

Для определения угла АВС находим векторы ВА и ВС.

ВА = А(8; 1; 7) - В(9; 7; 4) = (-1; -6; 3),  

модуль ВА = √((-1)² + (-6)² + 3²) = √(1 + 36 + 9) = √46.

ВС = С(6; 16; 4) - В(9; 7; 4) = (-3; 9; 0),  

модуль ВС = √((-3)² + 9² + 0²) = √(9 + 81 + 0) = √90 = 3√10.

По этим данным рассчитываем косинус угла В.

cos B = ((-1)*(-3) + (-6)*9 + 3*0)/( √46*3√10) = -51/(3√460) = -51/(6√115) =

         =  -0,7926.

Угол В = arccos (-0,7926) = 2,486 радиан или 142,432 градуса.

2) Вектор АВ = -ВА = (1; 6; -3),  

Находим вектор СD.  

CD = D(1; 7; 4) - C(6; 16; 4) = (-5; -9; 0).

Находим векторное произведение векторов АВ и CD по схеме Саррюса.

i        j       k|       i        j

1       6     -3|      1       6

-5     -9      0|     -5      -9 = 0i + 15j – 9k - 0j – 27i + 30k = -27i + 15j + 21k.

Найден вектор: (-27; 15; 21).

3) Для того чтобы найти смешанное произведение (a¯, b¯, c¯) трех векторов, заданных своими координатами a¯=(ax;ay;az),b=(bx;by;bz) и c¯=(cx,cy,cz) необходимо вычислить следующий определитель, где по строкам записаны координаты заданных векторов, то есть

(a¯,b¯,c¯)=|ax   ay   az

               bx   by   bz

               cx   cy   cz|.

Находим смешанное произведение векторов АВ, АС и AD.  

Они найдены и равны:

АB = (1; 6; -3),  

АС = (-2; 15; -3),  

АD = (-7; 6; -3).

Произведение равно:

1      6     -3|    1     6

-2    15    -3|   -2    15

-7     6      1|    -7    6 = 15 + 126 + 36 + 12 + 18 – 315 = -108.

Знак минус говорит о том, что тройка векторов – левая.

Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD.

V = (1/6)|-108| = 108/6 = 18 куб. ед.

4) Найти проекцию точки А на прямую ВD.

Находим вектор ВD.  

ВD = D(1; 7; 4) - В(9; 7; 4) = (-8; 0; 0).

Составляем уравнение прямой BD.

(x – 9)/(-8) = (y – 7)/0 = ((z – 4)/0.

Найти проекцию точки A(8, 1, 7) на прямую CD:

CD:   x − 9   =    y − 7  =   z − 7                           (1)

                    −8                     0                      0

Решение.

Чтобы найти проекцию точки A на прямую CD нужно:

• найти плоскость α, проходящей через точку A, перпендикулярной прямой CD,

• найти точку A1, которая является пересечением плоскости α с прямой CD.

Точка A1 будет проекцией точки A на прямую CD.

Уравнение плоскости α, проходящей через точку A(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:

A·(x − x0) + B· (y − y0) + C·(z − z0) =0                                      (2)

Направляющий вектор прямой L0 имеет следующие координаты:

q0={m0, p0, l0}={−8, 0, 0}                                                      (3)

Для того, чтобы плоскость (2) была перпендикулярна прямой (1), нормальный вектор n={A, B, C} плоскости (2) должен быть коллинеарным направляющему вектору (3) прямой (1). Поэтому в качестве нормального вектора плоскости (2) можно взять вектор {m0, p0, l0}={−8, 0, 0}. Подставим координаты вектора q0 и координаты точки A в (2):

−8(x − 8) + 0(y − 1) + 0(z − 7) = 0.  

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой CD:

−8 x + 64 =0.                                                                                    (4)

Для нахождения точки пересечения прямой (1) и плоскости (4) проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой (1).

Составим параметрическое уравнение прямой:

t =  x − 9

       −8 ,  

t =   y − 7

        0 ,  

t = z − 4

      0

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

x = 9 − 8t,

y = 7 + 0t,

z = 4 + 0t.                                                                                  (5)

Подставим значения x, y, z из выражения (5) в (4) и решим относительно t.

−8(−8t + 9) + 64 = 0  

64 t − 72  + 64 = 0  

t = 1/8.  

Подставляя значение t в выражения (5), получим координаты точки A1:

A1(8,7,4).  

ответ: проекцией точки A на прямую CD является точка A1(8,7,4).

Повторяю свой ответ:

Угол АСР - внешний и равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. (смотри рисунок).  Значит <CAB=20°. Тогда по теореме синусов в треугольнике АВС: ВС/sin20=AC/sin30, отсюда

АС=50*Sin30/Sin20 = 25/Sin20 (Sin30=1/2)

По таблице Sin20≈0,342. Sin50≈0,766.

В прямоугольном треугольнике РАС^

АР=АС*Sin50 или АР=25*0,766/0,342=55,99м.

АН=55,99+1,6=57,59 м  Это ответ.

Объяснение: