- 53 Дано; А...С, — правильная призма, AB = 15,
АА, = 12, A.K= KB, KM : Mc = 1:2.
Найти: Реч призмы пл. АВМ.
M
с
А
K
B
12
с
A
15
В
ответ:

≈227,33ед²

Объяснение:

∆ОРС1~∆А1В1С1

k=C1M/C1K=2/3

OP=A1B1*k=15*2/3=10ед.

В1Р=5ед

ВВ1=12 ед

∆ВВ1Р- прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора

РВ=√(ВВ1²+В1Р²)=√(12²+5²)=13ед.

АОРВ- равнобедренная трапеция.

АН=КВ

АН=(АВ-ОР)/2=(15-10)/2=2,5ед.

∆ОАН- прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора

ОН=√(АО²-АН²)=√(13²-2,5²)=√(169-6,25)=

=√168,75=25√0,27ед

S(ABPO)=OH(OP+AB)/2=25√0,25(10+15)/2=

=25√0,27*17,5=437,5√0,27≈227,33ед²

Условие перпендикулярности векторов векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. скалярное произведение векторов: (m,a)=xm*xa+ym*ya+zm*za (1). в нашем случае координаты вектора а={2; 1; 1}, координаты вектора b={1; 1; 2} и тогда: (m,a)=xm*2+ym*1+zm*1 =0.  аналогично (m,b)=xm*1+ym*1+zm*2 =0 (2). единичный вектор имеет длину (модуль) равную 1, то есть |m| = √(xm²+ym²+zm²)=1. возведем в квадрат:   xm²+ym²+zm²)=1 (3). из (2) вычтем (1): xm-zm=0 или xm=zm, тогда ym= -3xm. подставим эти значения в (3): xm²+9xm²+xm²)=1  => xm=zm=1/√11, ym=-3/√11. итак, искомый единичный вектор m = {1/√11; -3/√11; 1/√11}. но есть и противоположно направленный ему вектор -m, который также перпендикулярен векторам а и b.  противоположно направленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности отрицательный. коэффициент пропорциональности равен -1. значит вектор -m = {-1/11; 3/11; -1/11}.второй вариант: векторное произведение векторов a и b по определению - вектор, перпендикулярно направленный плоскости параллелограмма, образованного векторами а и b. находим вектор по формуле:             | i  j  k | (a*b)= |2 1  1 |  =  i  (aybz -  azby) - j  (axbz  -  azbx) + k  (axby  -  aybx)  или             |1 1  2 | (a*b)= i(2-1)-j(4-1)+k(2-1) = i -3j +k.  то есть мы получили вектор (a*b) с координатами (a*b)={1; -3; 1}. модуль (длина) этого вектора равна |a*b| = √(1+9+1) =√11. мы знаем, что единичный вектор - это вектор, коллинеарный данному, но имеющий модуль, равный 1. то есть каждую координату необходимо разделить на модуль вектора |a*b|.  это вектор m={1/√11; -3/√11; 1/√11}  и противоположный ему вектор -m={-1/√11; 3/√11; -1/√11}.