Регистрация Спросить otvet5GPT
mikran
23.09.2021 12:38
Математика
Есть ответ 👍

Ребята, у меня в садике К/Р была, я не знаю как задачу решить, обьясните... Докажите, что выражение делится на 9 при любом натуральном n:

193
252
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

xeniapopsoip00ty7
xeniapopsoip00ty7
4,6(58 оценок)

{2}^{2n - 1} + 3n - 5

Шаг 1: база индукции:

n=2 ⇒

{2}^{2 \times 2 - 1} + 3 \times 2 - 5 = 2 ^{3} + 6 - 5 = 9

Шаг 2: допустим, что утверждение выполняется в случае n=n.

Шаг 3: Если докажем правдивость утверждения в случае n=n+3 то покажем, что наше допущение также правда.

Если разница числа P и Q делится на 9 нацело, то и их разница делится на 9 нацело и наоборот.

P = 9*p

Q = 9*q

P - Q = 9(p-q)

{2}^{2(n + 3) - 1} + 3(n + 3) - 5 = {2}^{2n + 5} + 3n + 4

Доказательство тому, что n=n

Разница:

({2}^{2n + 5} + 3n + 4) - ( {2}^{2n - 1} + 3n - 5 = {2}^{2n - 1} (2 {}^{6} - 1) + 9 = {2}^{2n - 1} \times 63 + 9 = 9( {2}^{2n - 1} \times 7 + 1)

Разница кратна 9, и это доказало кратность выражения в случае n+3, а это подтверждает гипотезу

047oksana
047oksana
4,5(97 оценок)

Пошаговое объяснение:

1) Определим значения выражения 2^{2n-1}+3n-5 при различных значениях n \in{N}как последовательность

a_{n}=2^{2n-1}+3n-5

2) Определим значения членов a_n последовательности при n=1, n=2, n = 3:

a_1=2^{2\cdot1-1}+3\cdot1-5 = {2} + 3 - 5 = 0 \\ a_2=2^{2\cdot2-1}+3\cdot2-5 = {2}^{3} + 6 - 5 = 9 \\ a_3=2^{2\cdot3-1}{+}3{\cdot}3{-}5{=}{2}^{5} { +}9 {-} 5 =32{ +} 4{ =}36 \\

3) Применим метод математической индукции.

3a) Возьмем такой член a_n, который кратен 9 (как мы убедились выше, такое a_n существует (например, а3))

Т.к. он кратен 9, обозначим его как

a_n=9k \:\:\: \:\:\:2^{2n-1}+3n-5=9k

3b) Вычислим значение a_{n+1},

a_{n} = 2^{2n-1}+3n-5 = 9k \\ \\ a_{n + 1} = 2^{(2n + 2)-1}+3(n + 1)-5 = \\ = 2^{2n + 1}+3n + 3-5 = \\ =4 \cdot2^{2n - 1}+4 \cdot3n - 3 \cdot3n-4 \cdot5 +3 \cdot5 + 3 = \\ =(4 \cdot2^{2n - 1}+4 \cdot3n -4 \cdot5) - 3 \cdot3n+3 \cdot5 + 3 = \\ = 4 \cdot(2^{2n - 1} + 3n - 5) - 9n + 15 + 3 = \\ = 4 \cdot(2^{2n - 1} + 3n - 5) - 9\cdot( n - 2) = \\ = 4 \cdot9\cdot{k} - 9 \cdot(n - 2) = 9 \cdot(4{k} - (n - 2)) \\ = 9 \cdot(4{k} - n + 2)

Как мы видим, мы получили, что a_{n+1} равно произведению, один из множителей которого равен 9, а следовательно, a_{n+1} также кратен 9 Следовательно кратность 9 справедлива и для последующих значений последовательности.

Что и требовалось доказать

еанеа
еанеа
4,6(6 оценок)

75=5

90=6

 

44=4

99=9

 

33=3

44=4

объедини- это дробная черта по середине

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Математика

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS