Регистрация Спросить otvet5GPT
Кристина0930
12.05.2020 17:50
Алгебра
Есть ответ 👍

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка: y′′ − 4y′ + 4 = 0 (0) = 1; '(0) = 3

147
179
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Polklop
Polklop
4,4(20 оценок)

y = C_1e^{4x} + x + C_2 - общее решение

y = \cfrac{1}{2}e^{4x} + x + \cfrac{1}{2} - частное решение

Объяснение:

1)

y'' - 4y' + 4 = 0y'' - 4y' = -4k^2 - 4k = 0(k - 4)k = 0k_{1} = 4k_2 = 0 Y = C_1e^{4x} + C_2

2)

\overline{y} = Ax \overline{y}' = A \overline{y}'' = 0 \overline{y}'' - 4\overline{y}' = -4 -4A = -4 A = 1 \overline{y} = x

3)

y = Y + \overline{y} = C_1e^{4x} + x + C_2

4)

y = C_1e^{4x} + x +C_2, \ y(0) = 1, \ y'(0) = 3 y(0) = C_1 + C_2 = 1 y' = 4C_1e^{4x} + 1y'(0) = 4C_1 + 1 = 3 C_1 = \cfrac{1}{2} C_2 = 1 - C_1 = \cfrac{1}{2} y = \cfrac{1}{2}e^{4x} + x + \cfrac{1}{2}

noname1710
noname1710
4,5(2 оценок)

y′′ − 4y′ + 4 = 0

Решим характеристическое уравнение

к²-4к=0;

к*(к-4)=0

к₁=0; к₁=4;

общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

уобщ. =с₁*е^(0*x)+c₂e^(4х), или уобщ.=с₁+c₂e^(4х)

т.к. y′′ − 4y′=- 4 , то частное решение  ищем по правой части, которая представляет из себя многочлен нулевой степени, учитав, что 0-однократный корень характеристического уравнения. значит.

уч.=Ах,

у'=А,

у''=0

для определения А , подставим уч.=Ах, у'=А, у''=0 в исходное уравнение,

-4А=-4, значит, А=1, уч.=х,

зная, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего  решения однородного и частного решения неоднородного,

получим Y=уо.o+yо.н., подставим найденные уо.o и yо.н в это равенство, получим Y=с₁+c₂e^(4х)+х- общее решение неоднородного дифференциального уравнения

найдем первую  производную

Y'=(с₁+c₂e^(4х)+х)'=4c₂e^(4х)+1

для нахождения с ₁ и с₂ в задаче Коши подставим начальные условия.

Получим

с₁+c₂e^(4*0)+0=1⇒с₁+c₂=1

4c₂e^(4*0)+1=3⇒c₂=2/4=0.5

зная c₂, найдем с₁=1-c₂=1-0.5=0.5

Значит, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет Y=0.5+0.5e^(4х)+х

safaannainfinity
safaannainfinity
4,4(39 оценок)
Решение во

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS