26.08.2022 20:57

Есть ответ 👍

Даны функция трех переменных u = f (x, y, z), точка M0 (x0; y0; z0) и вектор a (а1, а2,, а3) .
Найти:
1) grad u в точке М0;
2) производную в точке М0 по направлению вектора a
u= $\sqrt{x^2-2y+4z}$ М0(1;-2;1) вектор a(-1;2;2)

101

355

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Tony271

Математика

4,4(40 оценок)

$u=\sqrt{x^2-2y+4z}$

Найдем частные производные и их значения в точке $M_0(1;\ -2;\ 1)$ :

$\dfrac{\partial u}{\partial x} =\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-2y+4z}} \cdot(x^2-2y+4z)'_x=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-2y+4z}}$

$\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_0)=\dfrac{2\cdot1}{2\sqrt{1^2-2\cdot(-2)+4\cdot1}}=\dfrac{2}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{\partial u}{\partial y} =\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-2y+4z}} \cdot(x^2-2y+4z)'_y=-\dfrac{2}{2\sqrt{x^2-2y+4z}}$

$\dfrac{\partial y}{\partial x} (M_0)=-\dfrac{2}{2\sqrt{1^2-2\cdot(-2)+4\cdot1}}=-\dfrac{2}{2\sqrt{9}}=-\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{\partial u}{\partial z} =\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-2y+4z}} \cdot(x^2-2y+4z)'_z=\dfrac{4}{2\sqrt{x^2-2y+4z}}$

$\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_0)=\dfrac{4}{2\sqrt{1^2-2\cdot(-2)+4\cdot1}}=\dfrac{4}{2\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$

Запишем градиент:

$\mathrm{grad}\, u=\dfrac{\partial u}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y} \vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} \vec{k}$

Находим градиент в точке M_0 :

$\mathrm{grad}_{M_0}u=\dfrac{\partial u}{\partial x}(M_0)\cdot \vec{i}+\dfrac{\partial u}{\partial y}(M_0)\cdot \vec{j}+\dfrac{\partial u}{\partial z} (M_0)\cdot\vec{k}$

$\boxed{\mathrm{grad}_{M_0}u=\dfrac{1}{3} \vec{i}-\dfrac{1}{3} \vec{j}+\dfrac{2}{3} \vec{k}}$

Запишем производную по направлению вектора $\vec{a}=\{a_x;\ a_y;\ a_z\}$ :

$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{a}}=\dfrac{\partial u}{\partial x} \cos\alpha +\dfrac{\partial u}{\partial y} \cos\beta +\dfrac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$

Причем, направляющие косинусы:

$\cos\alpha = \dfrac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} };\ \cos\beta =\dfrac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} } ;\ \cos\gamma=\dfrac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} }$

Найдем направляющие косинусы:

$\cos\alpha = \dfrac{-1}{\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} }=-\dfrac{1}{3}$

$\cos\beta = \dfrac{2}{\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} }=\dfrac{2}{3}$

$\cos\gamma= \dfrac{2}{\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} }=\dfrac{2}{3}$

Тогда, производная по направлению $\vec{a}=\{-1;\ 2;\ 2\}$ :

$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{a}}=-\dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{\partial u}{\partial x} +\dfrac{2}{3} \cdot\dfrac{\partial u}{\partial y} +\dfrac{2}{3} \cdot\dfrac{\partial u}{\partial z}$

Производная по тому же направлению в точке M_0 :

$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{a}}(M_0)=-\dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{\partial u}{\partial x} (M_0) +\dfrac{2}{3} \cdot\dfrac{\partial u}{\partial y}(M_0) +\dfrac{2}{3} \cdot\dfrac{\partial u}{\partial z}(M_0)$

$\dfrac{\partial u}{\partial \vec{a}}(M_0)=-\dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{3} \cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right) +\dfrac{2}{3} \cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{9} -\dfrac{2}{9} +\dfrac{4}{9} =\dfrac{1}{9}$

$\boxed{\dfrac{\partial u}{\partial \vec{a}}(M_0)=\dfrac{1}{9}}$

tyrykina0115

Математика

4,5(86 оценок)

братан это Сор?

Пошаговое объяснение:

я в тебя верю. ты решиш са!

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.