Нужно сделать быстрее.

во-первых, определимся с расстоянием h от вершины основания до противоположной боковой грани. оно (h) равно расстоянию от середины стороны основания до апофемы  а (апофема - высота боковой грани).

обозначим  а - длину стороны основания, н - высоту пирамиды, α - угол между апофемой и основанием, β - угол между высотой пирамиды и апофмой.

объём пирамиды v = 1/3 h·a² = 4, откуда

н = 12/а²    (1)

площадь боковой поверхности: sбок = 4·0,5а·а = 8, откуда

а = 4/а            (2)

теперь рассмотрим два прямоугольных тр-ка:

в 1-м тр-ке гипотенуза а, катет н лежит против угла α, катет 0,5а лежит против угла β.

во 2-м тр-ке гипотенуза а, катет h лежит против угла α, а угол между катетом h и гипотенузой а, равен углу между гипотенузой а  и катетом н 1-го тр-ка, т.к. это острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами, т.е.  угол между катетом h и гипотенузой а равен  β.

рассматриваемые прямоугольные тр-ки подобны по двум равным углам.

против равных углов лежат пропорциональные стороны:

а : а = н : h

подставим в эту пропорцию н из (1) и а из (2):

4/а : а  = 12/а² : h

1/а² = 3/(а²·h)

откуда h = 3·а²/а²

h = 3.

ответ: расстояние равно 3 см.