1. запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=sin x-8x+3 в точке x0=0 2. найдите значение x, при которых значения производной функции f(x)=x+1/x2+3 положительны
3. найдите производную функции f(x)=log5(sin 2x)
распишите на листочке

Пошаговое объяснение:

1)

f(x) = sinx – 3x + 2, x0 = 0

f'(x) = (sinx – 3x + 2)' = cosx – 3

f'(0) = cos0 – 3 = 1 – 3 = – 2

f(0) = sin0 – 3 • 0 + 2 = 0 – 3 • 0 + 2 = 2

y = f(x0) + f'(x0)(x – x0)

y = 2 + (– 2)(x – 0) = 2 – 2x

ответ: y = 2 - 2x

2)

f(x)=x+1/x^2+3

производная функции f(x) равна:

f '=1 — 2/x^3 + 0

Из условия f' > 0

получаем

1 -2/x^3 > 0

(x^3 — 2)/x^3 > 0

ответ: х принадлежит (-бесконечность; 0) U (корень куб из (2); +бесконечность)

3) Найдём производную данной функции: y = 3^cos x – x * sin 2x.

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

(cos x)’ = -sin x (производная основной элементарной функции).

(a^x)’ = a^x * ln a (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (3^cos x)’ = (cos x)’ * (3^cos x)’ = (-sin x) * (3^cos x) * ln 3;

2) (x)’ = 1 * x^(1 – 1) = 1 * x^0 = 1 * 1 = 1;

3) (sin 2x)’ = (2x)’ *(sin 2x)’ = 2* cos 2x = 2cos 2x.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (3^cos x – x * sin 2x)’ = (3^cos x)’ – (x * sin 2x)’ = (3^cos x)’ – ((x)’ * (sin 2x) + x * (sin 2x)’) = ((-sin x) * (3^cos x) * ln 3) – (1 * (sin 2x) + x * 2cos 2x) = (-sin x)(3^cos x)(ln 3) – (sin 2x) – 2xcos 2x.

ответ: y' = (-sin x)(3^cos x)(ln 3) – (sin 2x) – 2xcos 2x