Найти все комплексные числа , сопряжённые своему кубу?

0, 1, -1, i, -i.

Пошаговое объяснение:

Для числа a+bi сопряженное a-bi. Получаем (a+bi)^3 = a-bi;

a^3 + 3 a^2 bi + 3 a (bi)^2 + (bi)^3 = a - bi

a^3 + 3 a^2 bi - 3 a b^2 - b^3 i = a - bi

Действительные и мнимые части должны совпадать:

если a и b не равны 0, то

Складываем уравнения: Отсюда a=b или a = -b. В любом из этих случаев из первого уравнения , что невозможно.

Если a=0, то из второго уравнения (до сокращения) или b = 0.

Если b=0, то из первого уравнения или a = 0.

Итого 5 чисел: 0, 1, -1, i, -i.

ответ:x =i

Пошаговое объяснение: Пусть число z=x + iy

– искомое комплексное число, где x и y – действительные числа. Тогда число z⁻= x - iy , сопряженное числу z

По условию задачи имеем:z⁻ = z³ , ⇒ (x+iy)³= x - iy ⇒

x³+3x²iy+3xi²y²+i³y³= x - iy

Преобразовав это уравнение, получим: (x³+3x²y)+ i(3x²y-y³)= x-iy  

У нас два комплексных числа равны , значит будут равны соответственно их действительные и мнимые части:

x³+3x²y=х     и  3x²y-y³= -у

Возможны два случая: 1) если у≠0, то

x³+3xy²=х     и    3x²-y²= -1

                              у² =1+3х²   ⇒

х³+3х(1+3х²)=х  ⇒ 10х³ + 2х=0 ⇒  2х(5х²+1) = 0  ⇒ х =0, тогда у=1+3·0²=1  Этот случай имеет следующее решение: (0; 1)

Тогда число z₁=0+1·i = i  ⇒ z₁= i искомое комплексное число

2) если у=0, то

х³ - х =0           и    у = 0

х(х² -1) =0

х=0  или  х=±1

Этот случай имеет следующие решения: (0; 0) и (1; 0), (-1; 0)

тогда им соответствуют  числа

z₂=0+0·i = 0 ( действительное число)

z₃= 1+0·i = 1  ( действительное число)

z₄=-1+0i= -1  ( действительное число)

Значит  х = i  -искомое комплексное число