Регистрация Спросить otvet5GPT
Dizig
21.11.2021 21:57
Алгебра
Есть ответ 👍

Обозначим сумму цифр в десятичной записи числа k как S(k). Найдите максимальное значение, которое может принимать дробь вида k/S(k), если число k семизначное.

191
320
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Крошка21155
Крошка21155
4,7(67 оценок)

max {k / S(k)} = 1 000 000

Объяснение:

Цифра в старшем разряде не может быть равна 0, потому что в противном случае число не будет семизначным. Сначала рассмотрим случай, когда это единственная ненулевая цифра в числе k:

\dfrac{k}{S(k)}=\dfrac{a\cdot10^6}{a}=10^6

Теперь предположим, что в числе есть другие ненулевые цифры и покажем, что в этом случае значение дроби меньше 10⁶. Цифры числа k обозначим через a₆, a₅, ..., a₀.

\dfrac{k}{S(k)} = \dfrac{a_6\cdot10^6 + a_5\cdot10^5+\dots+a_0\cdot10^0}{a_6+a_5+\dots+a_0} = 10^6\dfrac{a_6}{a_6+a_5+\dots+a_0} + 10^5\dfrac{a_5}{a_6+a_5+\dots+a_0}+\dots+10^0\dfrac{a_0}{a_6+a_5+\dots+a_0}

Рассмотрим дробь \dfrac{a_i}{a_6+a_5+\dots+a_0}, где a_i – одна из цифр числа k. Заметим, что \dfrac{1}{x+y} \leq \dfrac{1}{x} для любых x>0 и y≥0. Тогда если мы оставим в знаменателе этой дроби только два слагаемых, одно из которых (ai) присутствует в числителе, а второе (aj) не равно нулю, будет верно неравенство:

\dfrac{a_i}{a_6+a_5+\dots+a_0} \leq \dfrac{a_i}{a_i+a_j}

Если a_i=0, то \dfrac{a_i}{a_i+a_j}=0. В противном случае мы можем поделить числитель и знаменатель дроби на a_i: \dfrac{a_i}{a_i+a_j}=\dfrac{1}{1+a_j/a_i}, а поскольку ai и aj – это некоторые отличные от нуля цифры, максимально возможное значение этой дроби достигается при ai=9 и aj=1: \dfrac{1}{1+a_j/a_i} \leq \dfrac{1}{1+1/9} = \dfrac{1}{10/9} = \dfrac{9}{10}.

Из этого следует, что \dfrac{a_i}{a_6+a_5+\dots+a_0} \leq \dfrac{a_i}{a_i+a_j} \leq \dfrac{9}{10}.

Теперь вернемся к исходному отношению k/S(k) при наличии хотя бы двух отличных от нуля цифр:

\dfrac{k}{S(k)} = 10^6\dfrac{a_6}{a_6+a_5+\dots+a_0} + 10^5\dfrac{a_5}{a_6+a_5+\dots+a_0}+\dots+10^0\dfrac{a_0}{a_6+a_5+\dots+a_0} \leq 10^6\dfrac{9}{10} + 10^5\dfrac{9}{10} + \dots + 10^0\dfrac{9}{10} = 10^5\cdot9 + 10^4\cdot9 + \dots + 10^{-1}\cdot9 = 999999.9 < 10^6

Таким образом, мы доказали, что максимальное значение дроби k/S(k) равно 10⁶ = 1000000 и достигается, когда все все цифры числа k, кроме первой, равны нулю.

казактілі3
казактілі3
4,4(83 оценок)

ответ: 10^6

Объяснение:

Пусть первая цифра слева семизначного числа отлична от 0 и равна a и существует еще хотя бы одна цифра отличная от 0 ( как минимум она равна 1), тогда независимо от значений остальных цифр числитель всегда будет менее чем (a+1)*10^6, а знаменатель всегда не менее чем (a+1), ибо хотя бы еще одна цифра ненулевая, таким образом, выполняется такое неравенство:

S/S(k) < (a+1)*10^6/(a+1) = 10^6.

Поскольку a>0, то a+1 >0, а значит деления на 0 не возникает.

Рассмотрим оставшийся вариант: все цифры помимо первой равны 0, а первая цифра равна a и также отлична от нуля, тогда:

S/S(k) = a*10^6/a = 10^6

Поскольку a>0, деления на 0 не возникает.

Таким образом, наибольшее значение:

S/S(k) = 10^6.

ЗаяцЯ2
ЗаяцЯ2
4,8(25 оценок)
От в е т :      

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS