Регистрация Спросить otvet5GPT
alikber2004
28.02.2023 12:18
Алгебра
Есть ответ 👍

1.4. Найдите наименьший положительный период функции y = sin 2х × cos 2х А) пи
В) пи/2
С) 2пи
Д)4 пи
ответ с решением нужно
можете дать ответ .
​

105
269
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

хомячок48
хомячок48
4,6(29 оценок)

Для начала упростим имеющееся выражение по формуле произведения синуса на косинус:

\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{\sin\left(\alpha + \beta\right) + \sin\left(\alpha - \beta\right)}{2}

В нашем случае получается:

\sin 2x\cdot\cos2x = \dfrac{\sin\left(2x + 2x\right) + \sin\left(2x - 2x\right)}{2} = \dfrac{\sin4x + \sin0}{2} = \boxed{\dfrac{\sin4x}{2}}

Итак, от y = \sin2x\cos2x мы перешли к  y = \dfrac{\sin4x}{2} . Теперь будем рассматривать период. Говоря простым языком, период - это какое-то определённое значение, пройдя которое мы вернёмся в ту же самую точку, из которой начинали движение. Должно выполняться вот это равенство: \underline{f(x) = f\left(x + T\right)} , где T - это и есть этот период. В нашем случае получается вот так:

\boxed{\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x + T\right)}{2}}

Теперь есть два решения этого уравнения. Первый - это муторный и прямолинейный. Просто перенести всё в левую часть, далее через разность синусов и так медленно добираться до периода. Второй намного проще, но надо понимать, что происходит. Дело в том, что T мы изменять не можем, так как это переменная, которую нам надо найти. Зато x мы можем присвоить любое удобное нам значение. Он ни на что не влияет, равенство в рамке продолжает соблюдаться, поскольку мы заменим икс в обеих частях, но всё станет намного проще. Например, здесь удобнее взять \boldsymbol{x = 0}. Нам известно, что \sin0 = 0, и вся левая часть в него превратится. Получится вот так:

\dfrac{\sin\left(4\cdot 0\right)}{2} = \dfrac{\sin4\left(0+T\right)}{2}dfrac{\sin0}{2} = \dfrac{\sin4T}{2}dfrac{\sin4T}{2} = 0

Теперь просто решаем обычное тригонометрическое уравнение и находим T.

\dfrac{\sin4T}{2} = 0sin4T = 04T = \pi kboxed{T = \dfrac{\pi k}{4}}\ \ ,\, k\in\mathbb{Z}

Итак, вот мы к этому и пришли. Возникает вопрос, что делать с k? В условии задания написано, что нужно найти наименьший положительный период данной функции. Так как k\in\mathbb{Z}, то k = \{...\, ,-2,-1,0,1,2,...\}. Положительное число должно быть больше нуля, и очевидно, что \dfrac{\pi k}{4} 0  при k \geqslant 1. Поэтому подставляем наше первое значение: k = 1. При нём получаем:

T_1 = \dfrac{\pi \cdot 1}{4} = \dfrac{\pi}{4}

Но не стоит сразу радоваться. Сначала проверим период на соответствие равенству f\left(x\right) = f\left(x+T_1\right).

\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2}dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin\left(4x +\pi\right)}{2}

Согласно формуле приведения, \sin\left(\pi + \alpha\right) = -\sin\alpha, отсюда имеем:

\dfrac{\sin4x}{2} = -\dfrac{\sin4x}{2}

Равенство не выполнено, значит,  \dfrac{\pi}{4} не является периодом данной функции. Проверяем дальше, k = 2.

T_2 = \dfrac{\pi\cdot 2}{4} = \dfrac{\pi}{2}

Точно так же подставляем в f(x) = f\left(x + T_2\right).

\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}{2}dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin\left(4x + 2\pi\right)}{2}

По формуле приведения \sin\left(2\pi + \alpha\right) = \sin\alpha, поэтому:

\boxed{\dfrac{\sin4x}{2} = \dfrac{\sin4x}{2}}

А потому T_2 = \dfrac{\pi}{2}  и является искомым периодом.

ответ: В)

Novokshonovamariya
Novokshonovamariya
4,4(78 оценок)
Cosx=a 2a²+a-1=0 d=1+8=9 a1=(-1-3)/4=-1⇒cosa=-1⇒a=π+2πn,n∈z -7π/2≤π+2πn≤2π -7≤2+4n≤4 -9≤4n≤2 -9/4≤n≤1/2 n=-2⇒a=π-4π=-3π n=-1⇒a=π-2π=-π n=0⇒a=π a2=(-1+3)/4=1/2⇒cosx=1/2⇒x=π/3+2πk u x=-π/3+2πm -7π/2≤π/3+2πk≤2π -21≤2+12k≤12 -23≤12k≤10 -23/12≤k≤5/6 k=-1⇒a=π/3-2π=-5π/3 k=0⇒a=π/3 -7π/2≤-π/3+2πm≤2π -21≤-2+12m≤12 -19≤12m≤14 -19/12≤m≤7/6 m=-1⇒a=-π/3-2π=-7π/3 m=0⇒a=-π/3 m=1⇒a=-π/3+2π=5π/3

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS