Известно, что произведение двух натуральных чисел на 15 больше их наибольшего общего делителя. Чему может быть равно большее из чисел?

Обозначим эти числа а и b. НОД(a,b) обозначим n.

Тогда можно написать:

a = n*m; b = n*k.

Произведение чисел на 15 больше n.

ab = n + 15

n*m*n*k = n + 15

(mk)*n^2 - n - 15 = 0

можно решить как квадратное уравнение.

D = (-1)^2 - 4*(-15)*mk = 60mk + 1

Чтобы n было натуральным числом, D должно быть точным квадратом.

D = 60mk + 1 = p^2 > 1; p > 1

n1 = (1 - p)/(2mk) < 0, так как m>0, k>0, p>1 - не подходит

n2 = (1+p)/(2mk) > 0 - подходит.

Теперь найдем максимум этой функции относительно mk, учитывая, что p = √(60mk+1)

n = (1 + √(60mk+1)) / (2mk)

Например, при mk = 2 получаем:

D = 60*2 + 1 = 121 = 11^2

n = (1 + √121)/(2*2) = (1+11)/4 = 12/4 = 3

При mk = 6 получаем:

D = 60*6 + 1 = 361 = 19^2

n = (1 + 19) / (2*6) = 20/6 - нецелое.

Наверное, это mk = 2, то есть наибольшее - 2

6 или 16

Пошаговое объяснение:

a,b∈N, НОД(a;b)=d⇒a=dk, b=dm, d∈N

Пусть a≥b⇒k≥m

ab=d+15

dk·dm=d+15

dk·dm-d=15

d(kdm-1)=15⇒d|15⇒d={1;3;5;15}

1) d=1

km-1=15

km=16, k≥m⇒(k,m)={(16;1); (8;2); (4;4)}⇒(a,b)={(16;1); (8;2); (4;4)}

Подходит только (16;1)

2) d=3

3km-1=5

3km=6

km=2,  k≥m⇒(k,m)=(2;1)⇒(a,b)=(6;3)

3) d=5

5km-1=3

5km=4, k,m∈∅

4) d=15

15km-1=1

15km=2,  k,m∈∅

пусть x- первая цифра двухзначного числа, а y - вторая цифра, тогда

x+y=15

(10x++x)=27 или 9x-9y=27

из первого уравнения

x=15-y

подставим во второе

9(15-y)-9y=27

18y=108

y=6

x=15-y=15-6=9

исходное число 96,после перестановки цифр 69