В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 5 корень из 7 , а высота равна 3. Найдите квадрат расстояния между вершинами С и F1

Ре­ше­ние.

а) Пусть се­че­ние пе­ре­се­ка­ет плос­кость верх­не­го ос­но­ва­ния по от­рез­ку MN Так как ос­но­ва­ния па­рал­лель­ны, то пря­мая  при этом М — се­ре­ди­на  зна­чит, MN — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  сле­до­ва­тель­но, N — се­ре­ди­на 

б) По­стро­им се­че­ние. Пусть Q и R — точки пе­ре­се­че­ния се­че­ния с пря­мы­ми  и  со­от­вет­ствен­но. Тогда они лежат на пря­мой MN. Пусть те­перь L и P — точки пе­ре­се­че­ния пря­мых AQ и CR (то есть се­че­ния) с реб­ра­ми  и  со­от­вет­ствен­но. Таким об­ра­зом, се­че­ние — ше­сти­уголь­ник ALMNPC по­лу­ча­е­мый из пря­мо­уголь­ни­ка AQRC от­ре­за­ни­ем от него двух рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков LMQ и NPR.

Так как ос­но­ва­ния приз­мы пра­виль­ные ше­сти­уголь­ни­ки со сто­ро­ной

пусть биссектриса ае. по теореме биссектриса делит делит сторону вс на части , пропорциональные двум другим сторонам  ве: ес=ав: ас=12: 15=4: 5  так как вся сторона ав=18см,делим на 9 частей и получаем ве=8см, ес=10см  применяем теорему косинусов, учитывая, что углы(косинусы этих углов) равны вае=еас  х-искомая биссектриса  (ав^2+ае^2-ве^2)/2*ав*ае=(ае^2+а^с2-ес^2)/2*ае*ас  (144+x^2-64)/24x=(x^2+225-100)/30x  x=10